Вариант №51

1. В партии из 14 изделий 5 бракованных, 6 наудачу выбранных изделий из партии подвергаются контролю. Найти вероятность того, что среди них будет обнаружено 3 бракованных изделия.

2. Устройство состоит из 4 узлов, каждый из которых в течение времени t может выйти из строя. Вероятность выхода из строя за время t первого узла p₁= 0,2, второго узла —p₂= 0,15, третьего —p₃= 0,1, четвертого —p₄= 0,12. Найти вероятность того,что за время t выйдут из строя какие-либо два узла.

3. Найти вероятность отказа функциональной цепи, изображенной на рисунке, если вероятность надежной работы каждого элемента одна и та же и равна p = 0,93.

┌─────┐ ┌─┤ 2 ├─┐ │ └─────┘ │ ┌───┤ ├───┐ │ │ ┌─────┐ │ │ │ └─┤ 3 ├─┘ │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ┌─────┐ ──┤ 1 ├─┤ ├─┤ 4 ├── └─────┘ │ │ └─────┘ │ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─┤ 5 ├─┤ 6 ├─┘ └─────┘ └─────┘

4. В телеателье имеются 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны 0,2, 0,85, 0,9, 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

5. Электрическая цепь состоит из 6 параллельно включенных потребителей. Вероятность отказа каждого из них равна 25, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет не менее половины потребителей.

6. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,92. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу шестисот деталей не менее 60‑ти окажутся нестандартными; ровно 60 окажутся нестандартными.

7. Автомат изготавливает детали. Вероятность того, что изготавливаемая деталь окажется стандартной, равна 0,995. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется более двух бракованных.

8. В партии 10 деталей, из них 7 стандартных, остальные нестандартные. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа нестандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить M(X) и (X) и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:

Найти коэффициент a, функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность попадания X в интервал (0,2, 0,8). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X —случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a = 235 см и  = 1 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 233 см и 236 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,95? В каких пределах лежат практически все размеры деталей?

11. На основе данных о результатах 48‑ми измерений отклонения величины содержания сахара в крови больных на третий послеоперационный день от нормального сформировать таблицу значений относительных

No	C[%]	No	C[%]	No	C[%]	No	C[%]	No	C[%]
1	0,88	11	1,08	21	1,19	31	1,33	41	1,55
2	0,89	12	1,09	22	1,22	32	1,35	42	1,57
3	0,91	13	1,10	23	1,23	33	1,37	43	1,59
4	0,92	14	1,11	24	1,24	34	1,41	44	1,60
5	0,94	15	1,12	25	1,25	35	1,44	45	1,62
6	0,95	16	1,13	26	1,26	36	1,45	46	1,63
7	0,97	17	1,14	27	1,28	37	1,47	47	1,70
8	0,99	18	1,15	28	1,29	38	1,49	48	1,71
9	1,00	19	1,17	29	1,31	39	1,51
10	1,02	20	1,18	30	1,32	40	1,53

частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		1,5	2,5	3,5	4,5	5,5
Y	10	1	3
	12	5	2
	14		15	7
	16			35	5
	18			8	10	2
	20				3	4