9. Метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет уменьшить число совместно решаемых

уравнений до . Основан на применении второго закона Кирх-

гофа [1, 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14].

Рассмотрим сущность метода сначала для расчёта схемы без источников то-

ка, т. е. при

1) выбираем независимых контуров и положительных направ-

лений так называемых контурных токов, каждый из которых протекает по всем

элементам соответствующего контура. Достаточным условием выделения независимых контуров является наличие в каждом из них хотя бы одной вет-

ви, принадлежащей только этому контуру;

2) для независимых контуров составляем уравнения по второму закону

Кирхгофа, совместное решение которых определяет все контурные токи.

3) ток каждой ветви определяем по первому закону Кирхгофа как алгебраи-

ческую сумму контурных токов в соответствующей ветви.

В качестве примера рассмотрим расчёт цепи на рис. 9.1, а с числом ветвей узлов , независимых контуров Выбира-

ем независимые контуры 1–3 и положительные направления контурных

токов в них (рис.9.1, б). В отличие от токов ветвей каждый контур-

ный ток обозначим двойным индексом номера контура.

а б

Рис. 9

Уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур 1:

контур 2: (9.1)

контур 3:

или в матричной форме

(9.2)

Перепишем эти уравнения следующим образом:

(9.3)

Здесь где контурная ЭДС пер-

вого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура; контур-

ная ЭДС второго контура; контурная ЭДС третьего контура.

Решение системы уравнений (9.1) методом подстановок или (9.2) численны-

ми методами на ЭВМ определяет контурные токи Токи ветвей (см. рис. 9.1) находим по первому закону Кирхгофа:

Из выражений (9.1) и (9.2) очевиден принцип составления уравнений по ме-

тоду контурных токов. В левой части уравнений коэффициент при контурном токе рассматриваемого контура положителен и равен сумме сопротивлений его ветвей. Коэффициенты при контурных токах в контурах, имеющих общие вет-

ви с рассматриваемым контуром, равны сумме сопротивлений общих ветвей со знаком плюс (минус), если направления контурных токов в общих ветвях совпадают (противоположны). Правая часть уравнений содержит алгебраичес-

кую сумму ЭДС ветвей рассматриваемого контура, причём слагаемое записыва-

ется со знаком плюс (минус), если направления ЭДС и положительное направ-

ление контурного тока совпадают (противоположны).

Общее решение системы n уравнений относительно тока может быть

также записано в виде:

(9.4)

где (9.5)

есть определитель системы.

Алгебраическое дополнение получено из определителя путём вычёр-

кивания k-го столбца и m-й строки и умножения полученного определителя

на

При расчёте схемы замещения с источниками тока возможны упрощения. Контурный ток, выбранный так, что других контурных токов в ветви с источ-

ником тока нет, известен. Поэтому в схеме с ветвями, из которых содер-

жат источники тока, число независимых контуров без источников тока и соот-

ветствующих им неизвестных контурных токов равно

Например, в цепи на схеме рис. 9.2 число ветвей с источниками тока узлов независимых контуров без источников тока (контур 3).

Рис. 9.2

Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 3 при выбранных поло-

жительных направлениях контурных токов:

т.е.

где известные токи контуров 1 и 2. Токи ветвей:

Пример 15. В схеме, изображённой на рис. 9.3, определить токи в ветвях, напряжения и между точками 1 – 2 и 3 – 4 цепи. Соста-

вить уравнение баланса мощностей. ЭДС источника питания (внут-

ренним сопротивлением источника пренебречь), ток источника тока сопротивления резисторов: .

Рис. 9.3

Решение. Условные положительные направления контурных токов в данной электрической цепи принимаем соответствующими рис. 9.3 (показаны сплош-

ными и пунктирными линиями).

По второму закону Кирхгофа составляем уравнение для правого верхнего контура электрической цепи (обход контура по ходу часовой стрелки):

То же для правого нижнего контура:

После подстановки значений параметров (ЭДС источника питания, сопро-

тивлений, тока источника тока) получим:

Ток совпадает с направлением большего тока

Ток в ветви резистора Ток в ветви резистора

. Ток в ветви резистора Ток в ветви резистора Напряжение между узлами 3 и 4 цепи находим из уравнения, составленного в соответствии со вторым законом Кирхгофа для контура 2342: откуда

Напряжение между узлами 1 и 2 цепи:

Уравнение баланса мощностей:

,

откуда после подстановки числовых данных получим тождество:

Пример 16. По трёхпроводной линии длиной 500 м. (см. рис. 9.4) от двух генераторов 1 и 2 питаются две группы ламп по 50 Вт, . В первой группе ламп, во второй ламп. Сечение крайних проводов , а сечение среднего (нулевого) провода . Каждый генератор имеет внутреннее сопротивление 0,01 Ом и развивает ЭДС 120 В. Определить токи во всех проводах линии и напряжение на зажимах каждой группы ламп, сопротивления которых считать постоянными. Материал провода − медь.

Решение. Определим проводимость одной лампы:

Тогда проводимость 200 ламп равна:

Проводимость 600 ламп равна:

Рис. 9.4

Соответственно сопротивление участка, содержащего 200 ламп, равно:

Сопротивление участка, содержащего 600 ламп, равно:

Сопротивления крайних участков линии:

Сопротивление средней (нулевой) линии равно:

Для определения токов в линиях применим метод контурных токов. Тогда

для верхнего и нижнего контуров получим:

После подстановки численных значений сопротивлений будем иметь:

Тогда

Пример 17. В схеме рис. 9.5 определить все токи методом контурных токов. Дано:

Рис. 9.5

Решение. Выберем контуры для получения независимых уравнений таким образом, чтобы в каждом была по крайней мере одна новая ветвь (показаны на

рис. 9.5 пунктирной линией). Контурными токами будут и .

Запишем уравнения для выбранных токов:

откуда при заданных параметрах находим

Токи в ветвях:

Пример 18. Найти токи в ветвях цепи, изображённой на рис. 9.6, где

Рис. 9.6

Решение. В цепи четыре независимых контура. В двух ветвях имеются ис-

точники тока с известными токами. Если через каждую из этих ветвей замк-

нуть по одному контурному току, то эти контурные токи автоматически станут известными:

Для определения двух других независимых контурных токов составляем два уравнения:

Определяем коэффициенты:

Подставим коэффициенты в левую и правую части вышеуказанного уравне-

ния, получим:

Решив данное уравнение, найдём контурные токи :

Определяем истинные токи в ветвях:

Пример 19. Рассчитаем параметры электрической цепи, схема которой при-

ведена на рис. 9.7, а. Параметры схемы:

Решение. В схеме четыре узла и шесть ветвей, не содержащих ис-

точников тока . Это ветви, состоящие из элементов и и

и , и и . В ветви с элементами и тока нет, так как она замыкается на ветвь с вольтметром, сопротивление которого считается беско-

нечно большим. Необходимо определить значения силы тока .

Нумерация узлов, произвольно выбранные положительные направления токов и обходов контуров показаны на рис. 9.7, б.

а б

Рис. 9.7

1. По первому закону Кирхгофа составляем независмые узловые уравнения для узлов 1, 2 и 3:

По второму закону Кирхгофа составляем кон-

турные уравнения. Для контуров (см. рис. 9.7, б) уравнения имеют вид:

2. Контуры и направления контурных токов в них показаны на рис. 9.8. Кон-

тур с известным контурным током проведём по ветви с элементами .

Рис. 9.8

Система уравнений для контурных токов имеет вид:

Подставив известные числовые значения, получим:

Отсюда получим значения контурных токов:

. Далее определим силу тока в ветвях:

Поскольку значения токов рассчитаны методом контурных токов, то первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Чтобы убедиться в правильности решения проверим тождественность уравнений, составленных по второму зако-

ну Кирхгофа для контуров , (см. рис. 9.7, б) подставляя в них числовые значения:

или

или

или

3. Уравнение баланса мощностей для схемы на рис. 9.8 имеет вид

где Левая часть уравнения учитыва-

ет мощность источников, правая − мощность, потребляемую сопротивления-

ми. Подставив численные значения, получим для левой части:

для правой:

Сравним полученные значения:

4. Напряжение, измеряемое вольтметром , включённым в соответствии с рис. 9.7, а, составляет

Для вольтметра :

Пример 20. Для обобщённой цепи, приведённой на рис. 9.9, требуется вы-

полнить расчёт цепи с использованием одного из способов расчёта цепи, рас-

считать напряжение между точками A и B схемы, а также составить баланс мощностей для исходной схемы.

Дано:

Решение. Проводим расчет схемы с использованием метода контурных то-

ков. Условные направления принятых контурных токов приведены на рис. 9.9.

Рис. 9.9

Cистема уравнений, позволяющая определить контурные токи , примет вид:

После подстановки численных величин, получим:

Данные контурные токи равны:

Тогда

Напряжение между точками A и B схемы:

Составим баланс мощностей для исходной схемы.

Мощность, отдаваемая в цепь источниками ЭДС:

Всего: 188 ВТ.

Мощность, отдаваемая в цепь источниками тока:

Всего: −20Вт.

Мощность приёмников энергии:

Всего: 168 Вт.

Баланс энергии: