Точка перегиба.

К огда кривая, являющаяся графиком функции у = f (х), выпукла книзу в одних промежутках и вогнута книзу в других, то точка М, отделяющая участок выпуклости кривой книзу от участка вогнутости книзу, называется точкой перегиба.

М; М₁ – точки перегиба

Правило нахождения значений х, при которых график функции у = f (х) имеет точки перегиба:

1. Вычислить вторую производную f '' (х) от данной функции у = f (х), график которой исследуем.

2. Найти те значения х внутри промежутка (а; в), при которых f '' (х) обращается в нуль; пусть это х₁, х₂,…х_к

3. Определить знак второй производной f '' (х) в каждом из промежутков (а; х₁), (х₁; х₂) …(х_К; в), для чего достаточно установить знак f '' (х) при каком-нибудь одном значении х в каждом их этих промежутков. Если f '' (х) изменяет знак при переходе через каждую из точек х₁, х₂…х_К, то следовательно график функции имеет точку перегиба при рассматриваемом значении х. Если знак f '' (х) не изменяется, то точки перегиба нет.

Схема построения графиков

При построении графика функции рекомендуется пользоваться следующей схемой исследования функции:

1. Устанавливаем область определения функции.

2. Определяем четность функции.

3. Определяем точки пересечения графика с осями координат.

4. Определяем точки возможного экстремума.

5. Находим значения х, при которых график функции имеет точки перегиба.

6. Наносим на чертеж все найденные точки и, принимая во внимание все результаты исследования, вычерчиваем график.

Пример построения графика функции

y = (x⁴ – 6x² + 5)

Решение:

1. Данная функция является рациональной, она определена, непрерывна и дифференцируема на множестве всех действительных чисел.

2. Определим четность:

y(-x) = ((-x)⁴ - 6·(-x)² + 5) = (x⁴ - 6x²+ 5),

y(-x) = y(x), следовательно данная функция является четной и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Определим точки пересечения графика функции с осями координат:

а). Для того чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, решим

уравнение у = 0:

(x⁴ – 6x² + 5) = 0,

x⁴ – ·6·x² + = 0,

x⁴ - 3x² + = 0, решим это биквадратное уравнение, сделав замену z = x²:

z² – 3z + = 0,

Д = (-3)² – 4 · · = 9 -5 = 4,

z₁ = = 5, z₂ = = 1,

Делаем обратную замену:

x² = 5,

x² = ,

x² = - ,

x² = 1,

x₃ = 1,

x₄ = 4. Точки пересечения графика с осью абсцисс: ( ;0), (- ;0), (1;0), (-1;0)

б). Пересечение графика с осью ординат определяем, вычислив значение у(0):

у(0) = (0 – 6 · 0 + 5) = ,

Точка пересечения графика с осью ординат:

(0; ).

4. Для нахождения точек возможного экстремума, вычислим первую производную:

y' = [ (x⁴ – 6x² + 5)]' = ( - 3x² + )' = - 3 · 2 · x^2-1 + 0 = 2x³ – 6x,

затем решал уравнение у' = 0, получим абсциссы точек возможного экстремума:

2x³ – 6x = 0,

2x(x² - 3) = 0,

2x = 0 или x² – 3 = 0,

x₁ = 0 x² = 3,

x² = ,

x² = - .

На вспомогательном чертеже исследуем знаки производной:

y'(-3) = 2·(-3)³ - 6·(-3) = -54 + 18 < 0

y'(-1) = 2·(-1)³ - 6·(-1) = -2 + 6 > 0

y'(1) = 2·1³ - 6·1 = 2 - 4 < 0

y'(3) = 2·3³ - 6·3 = 54 – 16 > 0

Т.к. при переходе через точку с абсциссой (- ) производная меняет знак с «-» на «+», то это абсцисса точки минимума.

При переходе через точку с абсциссой (0) производная меняет свой знак с «+» на «-», следовательно, это абсцисса точки максимума.

При переходе через точку с абсциссой производная меняет свой знак с «-» на «+», следовательно это абсцисса точки минимума.

Определим координаты точек экстремума, для этого вычислим значение функции в полученных значениях х:

y (- ) = ((- )⁴ – 6 · (- )² + 5) = (9 – 6 · 3 + 5) = -2,

y (0) = ,

y ( ) = (( )⁴ – 6 · ( )² + 5) = -2/

Вывод: Функция убывает на промежутке (- ∞; - ) и на (0; )

Функция возрастает на промежутке ( - ; 0) и на ( ;∞ )

Минимумы функции:

при х = - , у (- ) = -2 и

при х = , у ( ) = -2.

Максимум функции:

при х = 0, у (0)= .

5. Найдем значения х, при которых имеет точки перегиба, для этого найдем вторую производную: у'' = (2х³ – 6х)' = 6х² – 6 и решим уравнение:

6х² – 6 = 0,

6(х² - 1) = 0,

х² – 1 = 0,

х₁ = 1,

х₂ = -1.

Пользуясь вспомогательным чертежом определим точки перегиба:

у''(-2) = 6((-2)² - 1) = 6 · (4 - 1) > 0

у''(0) =6 · (0 - 1) < 0

у''(2) = 6(2² - 1) = 6 · (4 - 1) > 0

Т.к. при переходе через значение х = -1, х = 1, вторая производная меняет свой знак, то график функции имеет точку перегиба при рассматриваемых значениях х, причем на промежутках (- ∞; -1) и (1;∞ ) направления выпуклости графика вниз, а на промежутке (-1; 1) – вогнут книзу.

6. Пользуясь полученными данными строим график: