7. Примеры решения задач Нахождение области определения функции

Пусть дана функция одной переменной  .

Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков».

Рассмотрим условный пример:

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:

(   – значок объединения).

Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала

  , или из  , или из  , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал   и точка с («цэ») не входят в область определения, поэтому графика там нет.

Область определения функции, в которой есть дробь

Предположим, дана функция, содержит некоторую дробь  . На ноль делить нельзя, поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции, т.е.

Пример 1

Найти область определения функции 

Решение: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:

Полученное уравнение имеет два корня: 

.

Данные значения не входят в область определения функции.

Действительно, подставьте   или   в функцию   и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.

Ответ:

Пример 2

Найти область определения функции   

Данная функция определена на всей числовой оси. Какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен:  . Таким образом, область определения данной функции:  .

Пример 3

Найти область определения функции

Решение: попытаемся найти точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси.

Ответ: область определения: 

Пример 4

Найти область определения функции 

-x-2=0

x₁=2, x₂=-1

Ответ: область определения: 

Область определения функции с корнем

Функция с квадратным корнем   определена только при тех значениях «икс», когда подкоренное выражение неотрицательно:  .

Если корень расположился в знаменателе  , то условие очевидным образом ужесточается:  .

Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: 

Пример 5

Найти область определения функции 

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Для неравенства равносильны следующие преобразования:

1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.

2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.

3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменить знак самого неравенства (если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно»).

В неравенстве   перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):

Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):

Умножим обе части неравенства на   (правило №2):

Ответ: область определения: 

Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при  ».

Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:

Пример 6. Найти область определения функции 

Решение: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство  . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положителен, ищем корни:

Таким образом, парабола   пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство  ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство  ).

Поскольку коэффициент  , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах   выполнено неравенство   (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке   ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству  :

Обратите внимание, что сами точки   выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство строгое.

Ответ: область определения: 

Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Например, . Или аналогичная сумма с экспонентой:  . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»:  , поэтому и  .

А вот менее очевидный пример:  . Здесь дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось абсцисс), при этом ветви параболы направлены вверх, следовательно,   и область определения:  .

Вопрос противоположный: может ли область определения функции быть пустой?

Да, и сразу напрашивается примитивный пример  , где подкоренное выражение отрицательно при любом значении «икс», и область определения:   (значок пустого множества). Такая функция не определена вообще (разумеется, график тоже иллюзорен).

С нечётными корнями    и т.д. всё обстоит гораздо лучше – тут подкоренное выражение может быть и отрицательным.

Например, функция   определена на всей числовой прямой. Однако у функции   единственная точка   всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции   исключаются точки  .