1.3 Основные методы расчета сложных электрических цепей

Сложная цепь – это разветвленная электрическая цепь, в которой действуют несколько источников электромагнитной энергии и их невозможно преобразовать к одному эквивалентному.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Законы Ома и Кирхгофа используют, как правило, при расчете относительно простых электрических цепей с небольшим числом контуров, хотя принципиально с их помощью можно рассчитать сколь угодно сложные электрические цепи. Однако решение в этом случае может оказаться слишком громоздким и потребует больших затрат времени.

При расчете электрических цепей в большинстве случаев известны параметры источников ЭДС или напряжения, сопротивления элементов электрической цепи, и задача сводится к определению токов в ветвях цепи.

В электрической схеме, представленной на рис. 10, три узла (q = 3), пять ветвей (p = 5), шесть контуров и три независимых контура (n = 3).

Рис. 10

Для определения токов в ветвях электрической цепи необходимо составить систему из «р» уравнений и решить ее относительно токов. При этом по первому закону Кирхгофа записывают (q – 1) уравнений для любых узлов цепи, а недостающие n = p – (q – 1) уравнений записывают по второму закону Кирхгофа для n независимых контуров:

(16)

(17)

Метод контурных токов

Широко распространенный метод расчета сложных электрических цепей. В основе метода лежат второй закон Кирхгофа и два предположения: в каждом контуре протекают независимые друг от друга расчетные токи, называемые контурными, а ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по этой ветви.

При этих предположениях оказывается, что для расчета схемы достаточно ограничиться составлением уравнений для контурных токов только по второму закону Кирхгофа. Следовательно, вместо p уравнений при непосредственном применении законов Кирхгофа достаточно составить n = p – (q – 1) уравнений, что значительно упрощает расчет.

Система уравнений для неизвестных контурных токов любой электрической цепи, имеющей n независимых контуров, может быть получена из системы уравнений, составленной по второму закону Кирхгофа, если токи в ее ветвях выразить через контурные токи. В общем случае эта система имеет вид

(18)

В данном случае – собственное сопротивление контура, т.е. сумма всех сопротивлений, входящих в контур k.

– взаимное сопротивление контуров k и m. Это сумма всех сопротивлений в общей ветви контуров k и m. Взаимное сопротивление входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов вдоль этой ветви направлены навстречу друг другу, и со знаком плюс, если направления этих токов одинаковы.

– алгебраическая сумма всех источников ЭДС, входящих в контур k. ЭДС, совпадающие по направлению с направлением обхода, следует брать со знаком плюс, не совпадающие – со знаком минус.

После решения системы уравнений (18) относительно контурных токов определяют токи в ветвях схемы как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих в рассматриваемой ветви.

Поясним метод на примере схемы, приведенной на рис. 10. Для этой схемы число независимых контуров n = p – (q – 1) = 3. Выделим в схеме эти независимые контуры (I, II, III) с контурными токами I₁₁, I₂₂, I₃₃. Направление контурных токов можно выбрать произвольно. Система уравнений будет иметь вид

(19)

Значения сопротивлений и контурных ЭДС для рассматриваемой схемы:

Если контуры не имеют общих ветвей, то взаимное сопротивление равно нулю.

Решив систему уравнений (19), получаем значения контурных токов. Токи ветвей равны алгебраическим суммам контурных токов:

При этом знаки у контурных токов определяем по следующему правилу: если направление контурного тока совпадает с направлением тока ветви, то он записывается со знаком плюс, если не совпадает – со знаком минус.

Метод наложения

Принцип наложения. Этот принцип является выражением одного из основных свойств линейных систем любой физической природы и применительно к линейным электрическим цепям формулируется следующим образом: ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности.

Использование принципа наложения позволяет во многих случаях упростить задачу расчета сложной цепи, так как она заменяется несколькими простыми цепями, в каждой из которых действует один источник энергии. Из принципа наложения вытекает метод наложения для расчета электрических цепей.

Метод наложения и порядок расчета. Рассмотрим порядок расчета на примере определения токов в схеме (рис. 11, а). Заданную схему разобьем на вспомогательные, число которых равно числу ветвей с источниками электрической энергии (в данном примере две вспомогательные схемы на рис. 11, б, в). Выберем произвольно положительные направления всех токов и обозначим все величины, относящиеся к какой-либо вспомогательной схеме, соответствующим числом штрихов.

Рассчитаем токи вспомогательных схем, в которых, исключая все ЭДС, кроме одной, оставляем все сопротивления, включая внутренние сопротивления источников.

а б в

Рис. 11

Для схемы на рис. 11, б:

Для схемы на рис. 11, в:

Токи в ветвях заданной схемы, согласно принципу наложения, равны алгебраическим суммам соответствующих токов вспомогательных систем:

Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод расчета электрических цепей, в котором в качестве неизвестных принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Метод более эффективен по сравнению с методом контурных токов в случае, если число узлов в схеме меньше числа независимых контуров. В любой электрической цепи потенциал одного из узлов можно принять равным нулю, при этом число узлов, потенциалы которых следует определить относительно этого узла, станет равным (q – 1).

Система уравнений для неизвестных потенциалов любой электрической цепи, имеющей q узлов, может быть получена из системы уравнений, составленной по первому закону Кирхгофа для (q – 1) узлов, если в ней токи в ветвях выразить через потенциалы узлов в соответствии с выражением (2). В общем случае эта система имеет вид

(20)

где n = (q – 1); φ₁ , φ₂,… φ_n – потенциалы 1, 2, ….. n узлов относительно узла q, потенциал которого принят равным нулю; g_kk – сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к узлу k; g_km = g_mk – сумма проводимостей ветвей между узлами m и k, взятая со знаком «минус». Если же между узлами m и k нет ветвей, то принимают g_km = g_mk = 0; J_k – узловой ток, равный сумме токов всех ветвей, содержащих источники ЭДС и подключенных к узлу k, причем каждый их них определяется по уравнению (2) при U_km = 0. Токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а от узла – со знаком «минус».

После решения системы (20) относительно узловых потенциалов определяют напряжения между узлами U_km и токи в ветвях в соответствии с (2). Токи в ветвях, не содержащих источников ЭДС, определяют аналогично, полагая в уравнении (2) E_km = 0.

Метод узловых потенциалов особенно эффективен при расчете электрических цепей с двумя узлами и большим количеством параллельных ветвей, при этом, если принять потенциал одного из узлов равным нулю, например φ₂ = 0, напряжение между узлами будет равно потенциалу другого узла

(21)

где n – число параллельных ветвей цепи, а m – число ветвей, содержащих источники ЭДС.

Поясним метод на примере схемы (см. рис. 10).

В электрической схеме три узла, следовательно, нужно составить систему из двух уравнений относительно узловых потенциалов. При потенциале узла 3, равном нулю, система уравнений (20) примет следующий вид:

(22)

Значения проводимостей и расчетных токов в данном случае:

Решая систему уравнений (22) с приведенными значениями проводимостей и расчетных токов, находим потенциалы узлов φ₁, φ₂.

Токи в ветвях в соответствии с выражением (2):

При расчете токов в третьей, четвертой и пятой ветвях ЭДС приняты равными нулю, так как в этих ветвях нет источников ЭДС.