5. Кинематика и динамика идеальной жидкости-1

5.1. Основные понятия: задачи кинематики, линия тока, трубка тока.

5.2. Расход. Уравнение расхода

5.3 Уравнение неразрывности потока.

5.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

5.5. Первая форма уравнения Бернулли

5.6. Вторая форма уравнения Бернулли.

5.7. Третья форма уравнения Бернулли.

5.8. Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости

и их интегрирование (уравнений Эйлера)

5.1. Основные понятия

Кинематика жидкости отличается от кинематики твердого тела. Отдельные частицы твердого тела жестко связаны между собой, в жидкой среде такие связи отсутствуют.  Жидкость состоит из множества частиц, перемещающихся одна относительно другой и, кроме того, частицы дополнительно движутся совместно.

Идеальная жидкость в гидродинамике  —  модель жидкости, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость. При отсутствии  вязкости отсутствует внутреннее трение, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.

Моделью идеальной жидкости пользуются при решении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. Эта модель позволяет найти решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй, при обтекании тел.

В идеальной жидкости, как в неподвижной реальной жидкости, возможны только нормальные напряжения сжатия, т. е. гидромеханическое давление.

Задачей кинематики жидкости является определение скорости в любой точке жидкой среды, т. е. нахождение поля скоростей.

Установившимся называется течение жидкости, при котором давление и скорость являются функциями координат и  не зависят от времени.

При  установившемся движении давление и скорость могут изменяться при перемещении частицы жидкости из одного положения в другое.

р=f (х, у,z ); v=f₂(х, у, z ).

Установившееся течение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не изменяется при изменении ее координат. Поле скоростей остается неизменным вдоль потока.

Примером установившегося течения может служить истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень, или движение жидкости в трубопроводе, создаваемое центробежным насосом с постоянной частотой вращения вала.  

При установившемся течении траектории частиц жидкости от времени не зависят.

Неустановившимся называется течение жидкости,  характеристики которого изменяются во времени в точках рассматриваемого пространства. 

При  неустановившемся течении давление и скорость зависят от координат и от времени:

p = F₁(x, y, z, t);  v =  F₂(x, y, z, t).

Примерами неустановившегося течения жидкости могут служить быстрое опорожнение сосуда через отверстие в дне или движение во всасывающей или напорной трубе поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение.

При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, могут иметь разную форму.

Для изучения течения жидкости вводится понятие линии тока.

Линией тока называется кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к этой кривой (рис.5.1). 

Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.  

Трубкой тока называется бесконечно малый замкнутый контур, выделенный в данный момент времени в движущейся жидкости, через все точки которого проведены линии тока. Это условная трубчатая поверхность.

Элементарной струйкой называется часть потока, заключенная внутри трубки тока (рис.5.2).

В любой точке «трубки тока» т.е. на трубчатой поверхности струйки,  векторы скорости направлены по касательной, а нормальные к этой поверхности составляющие скорости  отсутствуют, следовательно, при установившемся движении ни одна частица жидкости, ни в  одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу.

Трубка тока, таким образом, является как бы непроницаемой  стенкой, а элементарная струйка представляет  собой самостоятельный элементарный поток.

В модели идеальной жидкости потоки  конечных размеров рассматривают,  как совокупность элементарных струек. Соседние струйки из-за различия скоростей скользят одна по другой, но не перемешиваются.

Живым сечением или сечением струйки δS или потока - S, называется площадь поверхности в пределах струйки или потока, проведенная нормально к линиям тока. Смоченным периметром называется длина части периметра  живого сечения, на которой поток соприкасается с твердыми стенками..

Для  круглой трубы это длина окружности  P = πd, а если труба заполнена наполовину, то P = 0,5πd.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения  к смоченному периметру Rг = S/P. Для потока в трубе круглого сечения:

Rг = S/P = (π/4)*d²/ (πd)=d/4.