О мощности множеств действительных чисел

В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [a, b] равномощны. Доказать это нетрудно: взаимно однозначное соответствие [0, 1] [a, b] может быть установлено функцией Y = (b - a) • X + a. Если X = 0, то Y = a; если X = 1, то Y = b, откуда, если 0 ≤ X ≤ 1, то a ≤ Y ≤ b (рис. 10).

Рис. 10

Тем самым отрезки разной длины равномощны (по-другому, эквивалентны). На рис. 11 графическая иллюстрация этого факта. Можно показать также равномощность отрезка и интервала, непосредственно указав взаимно однозначное соответствие (рис. 12).

Рис. 11 Рис. 12

На отрезке [0, 1] каждому числу вида (n-1)/n: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т.д. ставится в соответствие следующее число этой последовательности. На отрезке [1, 2] соответствие симметрично: последовательность имеет вид (n+1)/n: 2, 3/2, 4/3, 5/4... Всем остальным числам отрезка [0, 2] ставятся в соответствие они сами. Концы интервала не соответствуют при этом ни одной точке отрезка.

Однако можно воспользоваться более общим утверждением (равномощность множеств А и В обозначается А ~ В).

Теорема. Пусть А и В - два множества, А, В - их подмножества: А  А, В  В. Пусть каждое из множеств А, В эквивалентно подмножеству другого: А ~ В, А ~ В. Тогда А ~ В, т.е. множества эквивалентны.

Для любого отрезка и любого интервала отсюда следует их эквивалентность (рис. 13).

Рис. 13

Рис. 14 иллюстрирует равномощность интервала и множества точек всей прямой.

Рис. 14

Приложение 3

Двоичный 5-мерный куб

Рис. 15

Задания для самостоятельной работы

1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:

2. Решить задачи 1–10.

Для выполнения работы необходимо определить и записать в таблицу К1 значения переменных а₁ - а₄₂ (нули и единицы), исходя из следующих параметров:

F – первая буква фамилии,

N – первая буква имени, Впишите свои параметры в табличку:

F =

N =

S =

S – число букв в фамилии.

(Пример. Евгений Онегин: F = О, N = Е, S = 6.)

Таблица К1

а1

а2

а3

а4

а5

а6

а7

а8

а9

а10

а11

а12

а13

а14

а15

а16

а17

а18

а19

а20

а21

а22

а23

а24

а25

а26

а27

а28

а29

а30

а31

а32

а33

а34

а35

а36

а37

а38

а39

а40

а41

а42

Алгоритм заполнения таблицы К1. Значения а₁ - а₄₂ выбираются из внутреннего кольца круговой диаграммы (рис. 1), разделенной на 28 секторов, которые обозначены буквами от А до Я (во внешнем кольце) и одновременно числами от 1 до 28 (в среднем кольце). Буква Ё считается совпадающей с Е; Й и Ы – совпадающими с И.

Рис. 1

Выбор значений а₁ - а₄₂ производится по следующему правилу:

а₁ - а₁₄ – 14 чисел (нулей и единиц) подряд по часовой стрелке, начиная с позиции F;

а₁₅ - а₂₈ – 14 чисел подряд по часовой стрелке, начиная с позиции N;

а₂₉ - а₄₂ – 14 чисел подряд против часовой стрелки, начиная с позиции S;

Пример заполнения таблицы К1 для F = О, N = Е, S = 6:

а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9	а10	а11	а12	а13	а14
1	1	0	0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	0
а15	а16	а17	а18	а19	а20	а21	а22	а23	а24	а25	а26	а27	а28
0	1	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1	1
а29	а30	а31	а32	а33	а34	а35	а36	а37	а38	а39	а40	а41	а42
0	0	0	1	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1

В каждой из нижеследующих задач (1–10) определенным образом осуществляется выбор переменных 0, 1 из заполненной таблицы К1; из этих цифр составляются многозначные двоичные числа, которые затем используются в качестве параметров (в виде двоичных чисел или переводятся в десятичную систему). Правильное выполнение этих арифметических операций наряду с правильным исполнением инструкции в условии задачи, является неотъемлемой частью решения. К задачам 1, 4, 8, 9 приведены примеры решения.

Задача 1. Перевести в десятичную систему четырехзначное двоичное число А₂ = а₁ а₂ а₃ а₄ и трехзначное двоичное число В₂ = а₅ а₆ а₇. Вычислить число С₁₀ = (A + 5) · (23 – А) + В. Перевести число С₁₀ в двоичную систему. В полученном числе С₂ зачеркнуть две последние цифры и перевести результат – двоичное число D₂ – в десятичную систему.

Пример. Возьмем данные из примера заполнения табл. К1.

Задача 2. Двоичные числа a = a₁₁ a₁₂, b = a₁₃ a₁₄, c = a₁₅ a₁₆ a₁₇ a₁₈a₁₉, d = a₂₀ a₂₁ (a, b, d – двузначные, c – пятизначное) перевести в десятичную систему. Изобразить на числовой прямой отрезок K = [a, a+b+14] и интервал L = (c, c+d+18), а также множества K ∩ L, K  L, K \ L, L \ K.

Перевести в десятичную систему пятизначные двоичные числа E = a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₂₅ a₂₆ и F = a₂₇ a₂₈ a₂₉ a₃₀ a₃₁. Заполнить таблицу К2, ставя на пересечении строки, соответствующей точке E и F, и столбца, соответствующего множеству K, L, K ∩ L, K  L, K \ L, L \ K, знак + или – в зависимости от того, принадлежит ли точка этому множеству.

Таблица К2

	K	L	K ∩ L	K  L	K \ L	L \ K
E
F

Задача 3. Перевести в десятичную систему двоичные числа А = а₂₁ а₂₂ а₂₃, В = а₂₄ а₂₅ а₂₆, C = а₂₇ а₂₈, D = а₂₉ а₃₀ а₃₁ а₃₂, E = а₃₃ а₃₄ а₃₅ а₃₆, F = а₃₇ а₃₈ а₃₉ а₄₀, K = а₄₁ а₄₂. Решить задачу с номером (K+1) из четырех нижеследующих (числа A, B, C, D, E, F определяют содержащиеся в них параметры).

1. Из 100 школьников (50 + А) играют в баскетбол, (20 + В) - в волейбол, (35 + С) не играют в эти игры. Сколько человек играют и в баскетбол, и в волейбол? Сколько процентов школьников, играющих в баскетбол, играют в обе игры?

2. Из 100 студентов (53 + А) любят слушать музыку, (23 + В) занимаются спортом, причем (5 + D) студентов занимаются спортом и любят слушать музыку. Сколько человек не увлекаются ни спортом, ни музыкой? На сколько процентов это число меньше числа любителей музыки?

3. Среди 100 туристов одним английским языком владеют (35 + D), английским и немецким - Е человек; не владеют ни английским, ни немецким – F туристов. Сколько человек владеют немецким, сколько владеют только немецким? Сколько процентов туристов, владеющих немецким, не владеют английским?

4. Опрос 100 школьников показал, что (50 + D) человек умеют играть в шахматы, Е – и в шахматы, и в шашки, (20 + F) – только в шашки. Сколько школьников не играют ни в одну из этих игр? Сколько человек умеют играть в шашки? Сколько процентов школьников, играющих в шашки, не умеют играть в шахматы?

Задача 4. Перевести в десятичную систему двоичное число d = a₃₃ a₃₄ a₃₅.

Вычислить десятичные числа t_i = a_i+35 + 2 (i = 1, 2,..., 7):

t₁ = a₃₆ + 2, t₂ = a₃₇ + 2,..., t₇ = a₄₂ + 2.

Множество М определяется порождающей процедурой:

(1) d  M;

(2) если b  M, то b + 3  M;

(3) если b  M, то 3b  M.

Вычислить результат применения к исходному значению d последовательности операций (t₁), (t₂), (t₃), (t₄), (t₅), (t₆), (t₇).

Пример. Значения t_i могут равняться либо 2, либо 3. Пусть d = 5; t_i = 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3. Тогда последовательно получаем: b = 15, 18, 21, 24, 72, 75, 225.

Задача 5. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

C = a₃₅ a₃₆ a₃₇, D = a₃₈ a₃₉ a₄₀, E = a₄₁ a₄₂. Вычислить значения А = С – 6, В = D + 2.

Отрезок [A, B] отображается функцией f(x) = (x + E)² в множество L. Найти множество (промежуток) L. Является ли отображение [A, B] L взаимно однозначным?

Задача 6. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

C = a₂₉ a₃₀ a₃₁, D = a₃₂ a₃₃ a₃₄. Вычислить А = С + 1, В = D – 6.

Определить номер, который получают при нумерации целочисленных точек плоской решетки, изображенной на рис. 2.2 (стр. 20), точки с координатами (А, В), (В, А), (-А, -В).

Задача 7. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

b = a₁ a₂ a₃, X = a₄ a₅ a₆ a₇, Y = a₈ a₉ a₁₀ a₁₁, Z = a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅.

Для чисел X, Y, Z вычислить значения суперпозиции с номером b:

0) min (X, max (Y, Z));

1) min (max (X, Y), Z);

2) max (min (X, Y), Z);

3) max (X, min (Y, Z));

4) max (min (X, Z), Y);

5) min (Y, max (X, Z));

6) min (max (Y, Z), X);

7) max (Z, min (X, Y)).

Задача 8. Схема из функциональных элементов имеет структуру, изображенную на рис. 2. Элементы реализуют двуместные функции, которые определяются двузначными двоичными числами, образованными из знаков

а₅ - а₁₆ : S₁ = а₅ а₆ ; S₂ = а₇ а₈ ; S₃ = а₉ а₁₀ ; S₄ = а₁₁ а₁₂ ; S₅ = а₁₃ а₁₄ ; S₆ = а₁₅ а₁₆ .

00 + (сложение); 01 – (вычитание);

10 · (умножение); 11 / (деление).

1. Подставив на место элементов S₁–S₆ конкретные арифметические операции, составить формулу для функции W(X, Y, Z), реализуемой схемой .

Рис. 2

2. Вычислить значение функции при значениях аргументов

X = 2 + a₁₇ a₁₈ a₁₉ ; Y = 3 + a₂₀ a₂₁ a₂₂ ; Z = 4 + a₂₃ a₂₄ a₂₅ .

Пример. Пусть а₅ - а₁₆ = 110010100111

S₁ – 11 / На выходе элемента S₁ : Х / Y

S₂ – 00 + На выходе элемента S₂: X + Z

S₃ – 10 · На выходе элемента S₃ : Y · Z

S₄ – 10 · На выходе элемента S₄ : (X / Y) · (X + Z)

S₅ – 01 – На выходе элемента S₅ : (X + Z ) – Y · Z

S₆ – 11 / На выходе элемента S₆ , т.е. на выходе схемы:

(X / Y) · (X + Z) / ((X + Z) – Y · Z).

Если Х = 5, Y = 9, Z = 6, то W = • 11 / (11 – 54) = .

Задача 9. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

А = a₁ a₂ , В = a₃ a₄ , C = a₅ a₆ , D = a₇ a₈ , E = a₉ a₁₀ ;

X = 4 + a₁₁ a₁₂ a₁₃ , Y = 5 + a₁₄ a₁₅ a₁₆ , Z = 6 + a₁₇ a₁₈ a₁₉ .

В формуле W = [(X A Y) B (Y C Z)] D (X E Z) заменить двузначные двоичные символы A, B, C, D, E на знаки арифметических операций:

00 + (сложение); 01 – (вычитание);

10 · (умножение); 11 / (деление).

Построить схему , реализующую эту формулу. Вычислить значение W(X, Y, Z) при заданных значениях X, Y, Z.

Пример. Пусть А = 1 0, В = 0 1, C = 1 1, D = 1 1, E = 0 0 ; X = 7, Y = 8, Z = 12.

Тогда формула приобретает вид W = [(X · Y) – (Y / Z)] / (X + Z). Подстановка значений X, Y, Z дает W = [(7 · 8) – (8 / 12)] / (7 + 12) = (56 – 2/3) / 19 = 166/57.

Задача 10. Перевести в десятичную систему двоичное число R = a₂₆ a₂₇ a₂₈.

Является ли бинарное отношение с номером R между числами, точками, геометрическими фигурами транзитивным, симметричным, антисимметричным?

0) Прямая l₁ пересекается с прямой l₂.

1) Квадрат K₁ на плоскости находится внутри квадрата K₂.

2) Точка А на оси ОХ находится между началом координат и точкой В.

3) Точка земной поверхности А находится на той же высоте над уровнем моря, что и точка В.

4) Целое число А делится без остатка на целое число В.

5) Целое число А имеет общий множитель, не равный 1, с числом В.

6) Точка А на окружности диаметрально противоположна точке В.

7) Дуга окружности между точками А и В составляет 90º.