Тема 1.3. Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что x стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Определение: Число А₁ называется пределом функции у=f(x) слева в точке х₀, если для любого число ε>0 существует число = (ε)>0, такое, что при , выполняется неравенство .

Предел слева записывается так: или f(x₀ – 0)=A₁.

Аналогично определяется предел функции справа:

Определение: Число А₂ называется пределом функции у=f(x) спарава в точке х₀, если для любого число ε>0 существует число = (ε)>0, такое, что при , выполняется неравенство .

Предел справа записывается так: или f(x₀ + 0)=A₂.

Теоремы о пределах

1. Если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их суммы, равный сумме пределов функций f(x) и g(x)

2. Если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и g(x)

3. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) и предел функции g(x) не равен нулю, то существует предел их отношения, равный отношению пределов функций f(x) и g(x)

Следствие:

1)

2)

Замечание:

Пример1.

Пример2.

Пример3. . Получили неопределенность типа 0\0. Чтобы от нее избавиться необходимо, преобразовать числитель и знаменатель выражения. Данные выражения представляют собой квадратные многочлены, поэтому, пользуясь формулой разложения квадратного многочлена на множители, разложим на множители числитель и знаменатель.

Замечание: При решении примеров на нахождение пределов не редко могут встретиться неопределенности вида:

Для того, чтобы избавиться от таких неопределенностей выражение под знаком предела обычно преобразуют. Если выражение дробь, в числителе и в знаменатели которой находятся многочлены, то их раскладывают на множители. Если содержится выражение содержащее знак корня, то числитель и знаменатель домнажают на сопряженное число. Если выражение содержит разность или сумму дробей, то оно приводится к общему знаменателю.

Пример 4. Вычислить:

При решении воспользовались формулой

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Следствие:

Второй замечательный предел или

Пример 5.

Пример 6.

Тема 1.4. Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа.

Определение. Функция f(х) называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке x₀ (т.е. существует f(х₀));

2) имеет конечный предел функции при х →х₀;

3) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Пример 7. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: .

Решение:

а) В точке x=0 y=f(x) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности – существование f(0).

Рисунок 3 – График функции

Функция f(x) непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(х), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва:

первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х →х₀, не равные друг другу);

Если , то х₀ – точка разрыва I рода.

второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).

Если то точка х₀– точка разрыва II рода.

устранимого разрыва, когда предел функции при х →х₀ существует, но не равен значению функции в этой точке.

Если то в точке х₀ – устранимый разрыв.

Нахождение асимптот

Асимптотой графика функции у = f(x) – называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Асимптоты бывают: наклонные, горизонтальные, вертикальные.

Уравнение наклонной асимптоты находим в виде у=kх+b, где , .

Пример 8. Исследовать график функции в точках х=1, х=2 и выполнить построение.

1) х=1 вертикальная асимптота, т.к. х=1 – точка разрыва (на нуль делить нельзя).

2) Определим вид разрыва в точке х=1

и следовательно х=1 точка разрыва II рода.

3) Находим наклонные асимптоты из уравнения у=kх +b

и итак у=1 – горизонтальная асимптота.

4) Исследуем поведение функции в точке х=2

и , и f(2)=4 т.к. выполнены условия непрерывности функции в точке, функция в т. х=2 является непрерывной.

Построение:

1. На координатной прямой изобразили найденные асимптоты.

2. Обратили внимание на поведение функции справа и слева от точки разрыва.

3. При х=0 у=0 использовали уточняющее условие, для построения графика.

Рисунок 4 – График функции