Оценка характеристик динамической системы
1. В задании можно выполнить аппроксимацию (подбор коэффициентов к экспериментальным кривым) статистических характеристик и методом последовательных приближений.
Для автокорреляционной функции входного процесса (кривая 1 на рисунке 4а) аппроксимирующее выражение подбираем в форме убывающей экспоненты. Выбор коэффициента основан на том, что значения экспоненты близки к нулю при показателе степени 3. По графику подбираем значение, при котором кривая наиболее близко подходит к оси абсцисс (точка с на рисунке). Затем принимаем
= 3,
из этого условия определяем
и строим на том же графике функцию
f(x) =e- (кривая 4). Если выбранное значение недостаточно удачно, его изменяют до тех пор, пока по обе стороны аппроксимирующей кривой окажется приблизительно одинаковое количество экспериментальных точек. При этом увеличение приводит к более крутому спаду кривой (кривая 3), а уменьшение, наоборот, делает ее более пологой (кривая 2).
Аппроксимация
выходной корреляционной функции по
рисунку 4 б (кривая 1), вида – экспонента,
умноженная на косинус, осложняется
наличием двух параметров, влияющих на
ее форму. При выборе параметра
исходят из предположения, что значение
косинусоиды в самой низкой точке графика
(точка b
на рисунке) соответствует
.
Поскольку
= -1, то
.
Тогда
.
Для подбора
параметра
принимают во внимание, что значения
автокорреляционной функции в точке b
равно значению экспоненты (первый
сомножитель), умноженному на минус
единицу (значение второго сомножителя
в точке b),
т.е.
.
Рисунок 4 Автокорреляционные функции
входного (а) и выходного (б) процессов.
Отсюда следует,
что
.
Для функции f(x)
= e-x
находим значение, ближайшее к абсолютному
значению экспериментальной величины
в точке b
и принимаем b=
x,
откуда
.
Пользуясь найденными значениями
и ,
строим на графике экспериментальных
результатов аппроксимирующую кривую
2. Затем, изменяя параметры
и ,
добиваемся удовлетворительного
приближения аппроксимирующей кривой
к результатам эксперимента. Изменение
параметра
приводит при этом к смещению экстремума
(минимума) кривой вправо или влево по
оси абсцисс (кривая 3), а изменение
параметра
перемещает правую часть кривой по
вертикали (кривая 4).
Для случая
экспоненты, умноженной на синус (рисунок
5), поступаем аналогично, начиная с
верхней точки d,
где
.
Рисунок 5 Примерный вид взаимно корреляционной функции
Оценка ошибки аппроксимации. После окончания подбора кривых под экспериментальные результаты необходимо оценить правильность выбора аппроксимирующего выражения и точность подбора постоянных коэффициентов. С этой целью можно определить среднюю относительную ошибку аппроксимации
(П.1)
В этой формуле - отклонения аппроксимирующей кривой от экспериментальных значений, n – число экспериментальных точек. Чем точнее произведен подбор параметров кривой, тем меньше ошибка .
2. При идентификации (определении вида передаточной функции) можно использовать соответствующие корреляционным функциям выражения для спектральных плотностей после преобразования Фурье, приведенные в таблице 1.
Рассмотрим случай, когда автокорреляционная функция входа и выхода аппроксимирована, как это рекомендовано в задании, выражениями
и
,
тогда передаточная функция примет вид:
(П.2)
Таблица 1 Аналитические описания характеристик
Автокорреляционная функция () |
Спектральная плотность S() |
|
|
Раскроем скобки в знаменателе и числителе дроби, приведем подобные коэффициенты при переменной S и введем следующие обозначения
;
(П.3)
;
;
В результате получим
(П.4)
По выражениям (П.3) вычисляются постоянные коэффициенты передаточной функции. После их вычисления следует записать передаточную функцию в явном виде, подставив коэффициенты в формулу (П.4).
По виду найденных операторов необходимо сделать выводы о качестве работы плуга и путях его совершенствования.