7. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету полей заряженных тел простой формы

С по­мощью теоремы Остроградского-Гаусса удается легко найти напряженность поля в случаях, когда распределение зарядов оказывается достаточно простым и симметричным. При этом стремятся выбрать замкнутую по­верхность, окружающую заряды так, чтобы напряженность электрического поля Е была постоянна по всей поверхности или, по крайней мере, на определенных ее участках.

Рис. 3.15 К расчету поля бесконечной однородно заряженной плоскости

Рассмотрим бесконечную плоскость (Рис. 3 .15), равномерно заряженную с поверхностной плотностью заряда . Здесь q - заряд, распределенный по площади S. Вследствие симметрии линии напряженности имеют вид прямых линий, перпендикулярных заряженной плоскости. В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, основания которого параллельны заряженной плоскости и имеют площадь S. Так как силовые линии не пронизывают боковую поверхность цилиндра (они скользят вдоль поверхности), поток вектора напряженности через нее равен нулю. Полный поток, следовательно, равен потоку через два основания: . Внутри цилиндра находятся заряды, распределенные на участке заряженной поверхности, вырезанной цилиндром. Площадь этого участка равна площади основания. Поэтому суммарный заряд внутри цилиндра равен: . Используя теорему ( 3 .17), получаем выражение для напряженности поля бесконечной заряженной плоскости:

,

3.19

Напряженность поля не зависит от расстояния: силовые линии параллельны, их густота одинакова на любом расстоянии от заряженной поверхности. Это утверждение и формула ( 3 .18) справедливы для бесконечной плоскости. Для реальных тел в виде плоскости конечных размеров эта формула справедлива только вблизи поверхности, причем для точек, не лежащих вблизи ее края.

Зная связь между напряженностью и потенциалом, легко найти выражение для разности потенциалов двух точек в поле заряженной плоскости. Используя формулу ( 3 .15) и то обстоятельство, что напряженность поля во всех точках имеет одинаковое значение, получим:

,

3.20

Здесь r₁ и r₂  кратчайшие расстояния точек до заряженной поверхности (вдоль силовой линии).

Однородно заряженный шар. Электрический заряд Q равномерно распределен по объему непроводящего шара радиусом R (Рис. 3 .16). Объемная плотность заряда шара , где

V – малый объем, q – заряд, распределенный по этому объему. Поскольку заряд распределен внутри шара равномерно, электрическое поле также должно быть симметричным. Напряженность поля Е зависит только от r и направлена вдоль радиуса наружу (или внутрь, если заряд шара отрицателен).

Рис. 3.16 Сплошной шар с однородной объемной плотностью заряда

Выберем в качестве поверхности интегрирования сферу радиусом r (r < R) (А₂ на Рис. 3 .16). Внутри этой сферы находится заряд . Теорема Остроградского-Гаусса для этой поверхности запишется следующим образом:

Мы учли, что на одинаковом расстоянии от центра шара напряженность поля по модулю одинакова и по направлению совпадает с нормалью к сфере в каждой ее поверхности. Из последнего выражения, заменив  через его значение, получаем, что внутри шара напряженность поля зависит от расстояния до центра сферы следующим образом:

,(r < R)

3.21

Внутри шара напряженность поля с увеличением расстояния от центра растет линейно (Рис. 3 .17). Это объясняется тем, что при возрастании радиуса сферы, сквозь которую вычисляется поток, увеличивается и заряд, находящийся внутри сферы. Если же сфера интегрирования имеет радиус больше, чем радиус шара (А₁ на Рис. 3 .16), то заряд внутри ее будет постоянным, равным Q. Применение теоремы Остроградского-Гаусса дает следующее выражение:

,

откуда получим зависимость для напряженности поля такую же, как для точечного заряда:

,

3.22

Таким образом, с увеличением расстояния r от центра шара поле вначале линейно растет (до r = R), а затем при r>R убывает как 1/r² (Рис. 3 .17).

Разность потенциалов между двумя точками внутри шара равна

,

3.23

В левой части последнего выражения изменен знак разности потенциалов, поэтому перед интегралом нет знака (-).

Разность потенциалов между двумя точками вне шара может быть найдена по формуле для потенциала точечного заряда ( 3 .16).

Рис. 3.17 Зависимость напряженности электрического поля от расстояния r до центра однородно заряженного сплошного шара

Сферическая поверхность. Электрический заряд Q равномерно распределен по тонкой сферической поверхности радиу­сом R. Поскольку заряд распре­делен симметрично, электрическое поле также должно быть симметричным. Вне заряженной сферы применение теоремы Остроградского-Гаусса дает такой же результат, как в предыдущем случае. Напряженность поля вне сферы определяется по формуле ( 3 .21), где r – расстояние до центра сферы.

Внутри сферы поле также долж­но быть симметричным, поэтому напря­женность поля Е должна иметь одно и то же значение во всех точках сферической поверхности радиуса меньшего, чем R. Следовательно, Е мож­но вынести из-под знака интеграла, и мы получим , поскольку заряд внутри сферы равен нулю. Итак, внутри равномерно заряженной сферы

Е = 0 (r < R).

Рис. 3.18 Зависимость напряженности электрического поля от расстояния r до центра однородно заряженной сферы

График зависимости напряженности поля от рас­стояния до центра сферы приведен на Рис. 3 .18. Разность потенциалов вне сферы определяется, как и в предыдущем случае, по формуле для потенциала точечного заряда ( 3 .13):

,

3.24

Положив r₁=R, r₂=∞, найдем потенциал поверхности сферы:

,

3.25

Разность потенциалов точек внутри сферы равна нулю (поле отсутствует, значит, нет градиента потенциала), что означает постоянство потенциала внутри сферы. Потенциал точек внутри сферы равен потенциалу поверхности ( 3 .25).

Бесконечный равномерно заряженный цилиндр с линейной плотностью заряда . В силу симметрии задачи электрическое поле должно быть направлено вдоль радиуса наружу (если заряд положителен) и зависеть только от расстояния до оси цилиндра в перпендикулярном к ней направлении. Выберем замкнутую поверхность в виде прямого кругового цилиндра радиуса r (Рис. 3 .19).

Рис. 3.19 К расчету напряженности электрического поля, создаваемого длинным заряженным цилиндром

Благодаря цилиндрической симметрии напряженность электрического поля должна быть постоянна по поверхности цилиндра. Поток вектора напряженности через основания цилиндра равен нулю, поскольку вектор параллелен этим поверхностям. Следовательно, полный поток по теореме Остроградского-Гаусса равен , где l - высота цилиндра, по поверхности которого проводится интегрирование, l- суммарный заряд внутри замкнутой цилиндрической поверхности. Отсюда

,

3.26

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от оси заряженного цилиндра равна:

,

3.27