I.3. Сравнительный анализ в эвристике XIX века

I.3.1. Работы Сен-Симона и Больцано

Французский ученый А. Сен-Симон (1760-1825) уделял много внимания исследованию сравнения как важного познавательного средства. Он утверждал, что «вся работа человеческого ума, в конечном счете, сводится к сравнениям: сказать, например, что какая-либо вещь хороша или плоха, значит сказать, что она лучше или хуже другой, с которой ее сравнивают». Он выдвинул идею создания особой науки о сравнении идей, указывая в качестве образца для нее математику, которая является «наукой о наиболее точных и наиболее глубоких сравнениях». Необходимо отметить, что сравнительный метод в XIX в. Получил широкое применение в науках, накопивших большое количество эмпирического материала.

Значительный интерес для определения сущности эвристики представляют идеи чешского логика, математика и философа Бернардо Больцано (1781-1848), изложенные в «Наукоучении», главном его логико-философском произведении. В нем рассматриваются проблемы классической логики, теории познания, теории науки, психологии мышления, эвристики и педагогики. Такой фундаментальный подход к исследованию интеллектуальной деятельности позволил рассмотреть вопросы: что такое познание и знание? Что представляет собой истина? Каковы средства и пути познания истины? Каковы формы и правила всякой познавательной деятельности?

В своем изложении эвристической деятельности Б. Больцано делает шаг вперед по сравнению с Декартом и Лейбницем, критически развивая идеи предшественников. Так, Больцано показал, что ссылка на любого рода очевидность не может служить доказательством в научном исследовании. Все заблуждения, по Больцано, проистекают из того, что мы неправильно оцениваем вероятности эвристических заключений и часто пользуемся этими заключениями как доказанными.

I.3.2. Алгебра Буля

Ирландский профессор математики Джордж Буль (1815-1864) добился выдающихся успехов в критическом пересмотре логики. Он предложил и разработал обобщение алгебраических рассуждений в форме алгебры операторов. Его позиция состояла в том, что не обязательно алгебра должна заниматься рассмотрением одних лишь чисел и что законы алгебры должны совпадать с законами арифметики вещественных и комплексных чисел. Основная идея Буля состоит в том, что существующие законы мышления представимы в символическом виде, позволяющем придать более точный смысл обычным логическим рассуждениям и упростить их применение.

I.3.3. Эвристика в работах Пуанкаре

Много внимания вопросам методологии науки и самой эвристики уделял французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912). Он считал, что законы науки не относятся к реальному миру, а представляют собой произвольные соглашения, которые должны служить наиболее удобному и полезному (в соответствии с «принципом экономии мышления» Маха) описанию соответствующих явлений.

Рассматривая механизм математического творчества, Пуанкаре подчеркивал, что он существенно не отличается от любой творческой деятельности, поэтому, изучая его, мы вправе рассчитывать на проникновение в самую сущность человеческого ума. Для этого, прежде всего, считал ученый, необходимо знать психологический механизм творчества, поэтому наблюдения над работой математика, по его мнению, особенно поучительны для психолога.

Пуанкаре считал, что решение или доказательство может вызвать у нас чувство изящного, когда есть гармония отдельных частей, их симметрия, их счастливое равновесие – все то, что вносит порядок, что сообщает этим частям целое в одно время с деталями.

Научный метод Пуанкаре заключается в наблюдении и эксперименте, но так как время ограничено, то ученый должен делать определенный выбор для установления закономерностей. Принципы выбора у многих исследователей не лишены аналогии. Предварительно устанавливается правило, которое охватывает систематически повторяющиеся факты. Далее такие факты не представляют интереса, так как они уже не учат ничему новому. Теперь интерес представляют исключения и, прежде всего наиболее резкие, так как они не только более всего бросаются в глаза, но и наиболее поучительны. Таким образом, если установлено какое-нибудь правило, то вначале мы должны исследовать те случаи, в которых это правило имеет больше всего шансов оказаться неверным.

Проведя исследования сходства фактов правилу и их различие, необходимо сосредоточить свое внимание на тех аналогиях, которые часто встречаются в кажущихся различиях. Новый результат достоин высокой оценки, если он связывает воедино известные элементы, до тех пор рассеянные и казавшиеся чуждыми друг другу. Он вносит порядок внезапно туда, где до сих пор наблюдался хаос. Научный прогресс осуществляется благодаря неожиданным сближениям между различными частями науки.

Большое значение Пуанкаре придавал внезапному прозрению. Его поражал характер прозрения, с несомненностью свидетельствующий о долгой предварительной бессознательной работе. Эта работа плодотворна лишь в том случае, если ей предшествует и за нею следует период сознательной работы. В любом случае роль этой бессознательной работы в процессе математического творчества велика и неоспорима. Случайные факты Пуанкаре считал случайными для невежды, но не для ученого. Случайность в его трактовке является мерой нашего невежества, поэтому случайными явлениями будут те, законы которых нам неизвестны.

В своих обширных методологических работах Пуанкаре большое внимание уделял как математическому творчеству, так и вопросам обучения математике. Разработанные им вопросы научного творчества относятся к проблемам эвристики, изложенным на основе собственного опыта.