2. Способ сфер

12.2.1. Способ концентрических сфер

Использование сфер в качестве посредников возможно на том основании, что две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям (параллелям), проходящим через точки пересечения их меридианов. И поэтому сфера, центр которой принадлежит оси поверхности вращения, пересекается с последней также по окружностям.

Плоскости этих окружностей перпендикулярны оси поверхности вращения. Поэтому их проекции (одна или обе) будут графически простыми линиями лишь тогда, когда ось вращения будет проецирующей или линией уровня.

Способ концентрических сфер применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии, которая должна быть плоскостью уровня.

В этом случае оси данных поверхностей принадлежат общей плоскости симметрии и поэтому пересекаются в точке, которая и будет являться центром вспомогательных сфер с rⁱ.

Алгоритмы способа концентрических сфер рассмотрим на примере построения линии пересечения двух цилиндрических поверхностей вращения i,a и j,b)(рис. 12.3).

Отмечаем точку О=ij - центр вспомогательных сфер - посредников ⁱ. Поверхности , имеют общую плоскость

Рис.12.3

с имметрии ФП₂, которая пересекает данные поверхности по очерковым линиям на П₂, точки пересечения А,В которых принадлежат искомой линии l. Точки А и В наиболее удалены от центра О, поэтому отрезок ОА или ОВ определяет r_max одной граничной сферы. Другая граничная сфера будет определяться r_min, ко-торый равняется радиусу окружности большего цилиндра. Эта сфера будет касаться по окружности поверхности  и пересекать  по окружности q. Полученные окружности пересекутся в точках C,D, которые являются также опорными. Случайные точки определятся построением сфер ⁱ с радиусом rⁱ. Проекция кривой пересечения поверхностей на П₂ - l₂ будет получена плавным соединением построенных точек. На П₁ - l₁ совпадает с проекцией поверхности меньшего цилиндра .

В силу параллельности плоскости симметрии Ф фронтальной плоскости проекций видимая и невидимая ветви фронтальной проекции l₂ линии пересечения l накладываются друг на друга. Поэтому на чертеже l₂ изображается линией видимого контура.

12.2.2. Способ эксцентрических сфер

Рис.12.4

Э тот способ применяется для построения линии пересечения циклической поверхности с поверхностью вращения, если они имеют общую плоскость симметрии, которая должна быть плоскостью уровня.

Алгоритм предлагаемого способа рассмотрим на примере построения линии пересечения поверхности конуса вращения и торовой поверхности (рис. 12.4).

Экстремальные точки А,В линии пересечения будут определены как точки пересечения очерковых линий рассматриваемых поверхностей, которые расположены в плоскости симметрии ФП₂. Проекции точек А,В вначале обозначаем на П₂ (А₂,В₂), а затем на П₁(А₁,В₁).

Для построения случайных точек 1,1,2,2,3,3 проводим проекции фронтально проецирующих плоскостей , как показано на рисунке. Поверхность тора будет пересекаться ими по окружностям t, t, t с центрами, лежащими в месте пересечения плоскостей и осевой окружностью тора (1₀,2₀,3₀). Из отмеченных точек восстанавливаем перпендикуляры, которые пересекут осевую линию конуса в точках 0₁,0₂,0₃. Эти точки и являются центрами сферических поверхностей посредников, проведя которые через проекции окружностей тора t₂,t₂,t₃ на П₂, получим проекции окружностей - параллелей на конической поверхности (d₂,d₂,d₂). Соответствующие проекции окружностей тора и конуса пересекутся в точках 1₂1₂, 2₂2₂, 3₂3₂. С помощью построенных параллелей конуса на П₁ найдем проекции случайных точек 1₁,1₁,2₁,2₁,3₁,3₁.

Выполнив обводку проекции линии пересечения l(l₂) на П₂, находим точки видимости С, D с помощью параллели конуса q, диаметр окружности которой равен диаметру образующей окружности тора. С₂D₂=l₂q₂. С_1,D₁ расположены на П₁ на очерковой линии тора. Эти точки будут разделять видимую и невидимую часть проекции линии пересечения l(l₁) на П₁.

Вопросы для самопроверки к лекции 12:

1. В чем сущность и порядок решения второй основной позиционной задачи?

2. В каких случаях можно применить способ вспомогательных секущих плоскостей ?

3. Когда можно применить способ концентрических и когда способ эксцентрических сфер?

ЛЕКЦИЯ 13