Число опрошенных до первого совпадения дней рождения у любых двух человек.
Для исследования данной случайной величины построим гистограмму и график распределения вероятности. (Что, в принципе, одно и то же в разных системах координат.)
% определяем номер первого человека, у которого др совпал с одним из
% предыдущих
% n = 50; % количество человек в группе
N = 2000; % опытов в серии
M = 1000;
minm = zeros(M,1);
for h = 1:M
minc = zeros(N,1);
for i = 1:N
x = randi(365, n, 1);
for j = 1:n
x(j,2) = j;
end
xs = sortrows(x); % сортируем ряды
k = 1;
for j = 1:(n-1)
if (xs(j,1) == xs(j+1,1))
couples(k,1) = xs(j,2);
couples(k,2) = xs (j+1,2);
k
= k
+ 1;
end
end
if k ~= 1 % если есть хоть одно совпадение
minc(i,1) = min(couples(:,2)); % в каждой полученной паре (строка)
%числа уже упорядочены по возрастанию
end
end
minm(h,1) = round(sum(minc) / N); %среднее значение ищем
end
%теперь посчитаем вероятность появления каждого из чисел
m1 = min(minm);
m2 = max(minm);
for i = m1:m2
a
= sum(minm == i);
p(i,1) = a / M;
end
Для группы из 50 человек результаты выглядят следующим образом.
Как видно, даже для самого ожидаемого значения вероятность его появления не превосходит 25%.
Тем не менее, построим график распределения мат.ожидания при различных n.
function [maxp] = birthday_np ()
%на основе предыдущего скрипта, распределение матожидания при разных n (от
%1 до nn)
nn = 300;
maxp = zeros(nn,1);
for n = 1:nn
...
...
...
ps = sortrows(p); %отсортировали строки по возрастанию
ps = flipud(ps); % переворачиваем строки (up - down)
maxp(n,1)
= ps(1,2); %теперь
здесь число с наибольшей вероятностью
end
end
В связи с большими временными затратами на расчёты точность графика и охватываемый диапазон оставляют желать лучшего, и тем не менее вполне заметна тенденция к плавному росту значения исследуемой величины при увеличении n.
Заключение
Таким образом, были смоделированы парадокс дней рождения и некоторые схожие задачи. Также было рассмотрено теоретическое обоснование большинства задач. Полученные результаты позволяют говорить, что моделирование было произведено с достаточной точностью.