4.8. Признаки сравнения
Рассмотрим
два положительных числовых ряда
и
.
Первый признак сравнения
Если известно, что ряд – сходится, и для всех
выполняется
неравенство:
,
то ряд
тоже
сходится.
Иными словами: из сходимости положительного ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
Второй признак сравнения
Если
известно,
что ряд
–
расходится,
и выполнено неравенство
(для
),
то ряд
тоже
расходится.
Иными словами: из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.
Предельный признак сравнения
Если
предел отношения общих членов положительных
рядов
и
равен конечному,
отличному от нуля числу
:
,
то
оба ряда
и
сходятся
или расходятся одновременно, т.е из
сходимости ряда
следует
сходимость
ряда
,
а из расходимости
ряда
следует
расходимость
ряда
.
Замечания:
1) Если речь идёт о двух сходящихся рядах и , то предел отношения общих членов может быть равен и нулю (но не бесконечности);
2) если речь идёт о двух расходящихся рядах и , то предел отношения общих членов может быть равен и бесконечности (но не нулю);
3) предельный признак сравнения применяется тогда, когда общие члены рядов являются отношением многочленов от . Либо один или оба многочлена также могут находиться под корнем;
4)
не
имеет значения,
в
каком порядке составлять отношение
общих членов при использовании предельного
признака сравнения,
можно
было составить
– это не изменило бы сути дела.
Довольно часто числовой ряд сравнивают с известными гармоническим и обобщенно-гармоническим рядами.
Пример
11. Исследовать
на сходимость ряд
Решение.
Общий член ряда
Используем
первый признак сравнения рядов. Для
сравнения удобно выбрать сходящийся
ряд, например, бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию:
со
знаменателем
.
Из
сравнения общих членов рядов
и
имеем
.
Получили
и ряд
сходится.
Следовательно, по первому признаку
сравнения заданный ряд тоже сходится.
Пример
4.6. Исследовать
на сходимость ряд
.
Преобразуем
общий член ряда
.
Сравним данный ряд со сходящимся рядом
.
Применяем предельный признак сравнения.
.
Вывод:
предел отношения общих членов положительных
рядов
и
равен конечному
числу
,
ряд
– сходится, значит, исследуемый ряд
тоже сходится.
Ответ: ряд сходится.
Если бы для сравнения был выбран другой ряд, а не ряд , из совокупности обобщенно-гармонических рядов, то не получилось бы в пределе отношения общих членов конечного, отличного от нуля, числа.
Пример
4.7. Исследовать
на сходимость ряд
Решение.
Общий член ряда
.
Применим предельный
признак сходимости. В качестве ряда
возьмем
обобщенно-гармонический ряд с показателем
.
Ряд
– расходится.
Рассмотрим
Следовательно, ряды и сходятся и расходятся одновременно. Ряд – расходится, поэтому и ряд тоже расходится.
Лемма 4.1. Если члены строго
положительного ряда (4.1) при всех номерах
n удовлетворяют неравенству:
,
где q - некоторое постоянное число, меньшее единицы: 0 < q < 1,
то ряд (4.1) сходится.
Доказательство. Действительно, по условию
.
Перемножая эти неравенства и сокращая,
получим:
.
Тогда
.
Это говорит о том, члены ряда (4.1) не
больше соответствующих членов ряда
,
т.е.
=
Множитель в скобках представляет собой
сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии со знаменателем
.
Прогрессия – сходится. Но тогда сходится
и ряд (4.1).
Замечание. Неравенство
еще не обеспечивает сходимости ряда
(4.1). Это видно хотя бы на примере
гармонического ряда
.