5.8. Свойства функций, имеющих пределы

Теорема 5.2. Если существует конечный предел , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция является ограниченной, т.е. существуют такие положительные числа и , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует, что .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Возьмем . И раскроем последнее неравенство по свойству модуля: .

Или . Отсюда следует, что . Если взять , то получим, что , что и требовалось. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Если существует конечный предел , и , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет условию: . Более того, для указанных функция , если , и , если .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого ( в частности, возьмем ) найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Раскроем последнее неравенство: , которое выполняется для всех окрестности точки . Получили . Или для указанных . При следует, что и . При следует, что для всех окрестности точки . Тогда, раскрывая модуль в неравенстве , получаем или , что и требовалось доказать.

Теорема 5.4. Если существуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функции и удовлетворяют неравенству , то .

Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:

, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.

5.9. Признаки существования предела функции

Не у всякой функции может существовать предел. Практические задачи обычно сводятся к вопросу нахождения конкретного значения предела, а не к вопросу: существует ли предел рассматриваемой функции. Поэтому для исследования вопроса о существовании предела функции применяют специальные признаки.

Теорема 5.4. (о пределе промежуточной функции)

Если для функций и существуют одинаковые конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет неравенству , тогда функция имеет тот же самый конечный предел, что и функции и : .

Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:

, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.

Теорема 5.5. (критерий Коши существования предела)

Для того чтобы существовал конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого сколь угодно малого числа существовала такая –окрестность точки , , что, каковы бы ни были точки и , принадлежащие –окрестность точки , что выполняется неравенство .

Доказательство. Пусть , где – конечное число. Тогда существует окрестность точки , в которой определена функция , за исключением, быть может, самой точки . Кроме того, для любого сколь угодно малого числа существует такая –окрестность точки : , что для всех выполняется неравенство . Тогда для любых точек получим

, следовательно, доказано, что условие теоремы необходимо.

Докажем достаточность теоремы. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . И пусть для любого существует такая – окрестность , что для любых точек выполняется неравенство: . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к точке . Тогда, согласно критерию Коши для последовательности, стремящейся к пределу, найдется такое число , что для всех номеров члены последовательности будут принадлежать – окрестности : . Получили, что выполняется неравенство: для всех номеров . Следовательно, последовательность удовлетворяет критерию Коши. Тогда существует для сходящейся к последовательности чисел . Так как последовательность – произвольная, сходящаяся к точке , то все будут равны между собой. В самом деле, пусть и – две различные последовательности, сходящиеся к точке . Тогда существуют числа и , к которым сходятся последовательности и соответственно: и .

Составим новую последовательность: . Она сходится к точке . Тогда соответствующая последовательность должна сходиться к некоторому числу. Но это возможно только, если выполняется условие: . Таким образом, существует . Теорема доказана.

Теорема 5.6. Пусть существуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки определены функции , и при условии, что . Тогда существуют конечные пределы: , и .