Решение.

а) Пусть N — такая точка на ребре SB, что SN:NB = 5:1. Треугольники SAB и SMN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит,  , а прямые AB и MN параллельны,  . Прямая PQ также параллельна прямой АВ. Значит, отрезки MN и PQ параллельны и не равны, и поэтому сечение пирамиды плоскостью MPQ — это трапеция MNPQ.

Треугольники MAQ и NBP равны, поскольку MA = NB, QA = PB, и  , поэтому MQ = NP, а значит, трапеция MNPQ равнобедренная.

б) Пусть объём пирамиды SABCD равен V. Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP.

Расстояние от точки М до плоскости BNP относится к расстоянию от точки A до этой плоскости как 5:6, а площади треугольников BNP и SBC относятся как 1:12. Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно 5:72, то есть объём пирамиды MBNP равен  .

Площадь прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние от точки М до плоскости ABCD относится к расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому объём пирамиды MABPQ равен  .

Таким образом, объём AMQBNP равен   то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.

Ответ: 17 : 127.

Задание 15. Решите неравенство  .

Решение.

Пусть  , тогда неравенство примет вид:

Откуда t < 0; t = 2; t> 3.

При t < 0 получим:

,

откуда 0 < x < 1.

При t = 2 получим:

,

откуда x = 9.

При t > 3 получим:

,

откуда x > 27. Решение исходного неравенства:

.

Ответ:  .

Задание 16. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.

б) Найдите угол ЛВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

Решение.

а) Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке L. Тогда треугольники BLC и ALD подобны с коэффициентом подобия 2, поскольку ВС = 2AD. Значит, А и D — середины BL и CL соответственно. Таким образом, AM и DM — серединные перпендикуляры в треугольнике BLC, а М — центр описанной около этого треугольника окружности, поэтому BM = CM как радиусы этой окружности.

б) Пусть Н — середина ВС, тогда МН — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Значит, треугольники ВНМ и СНМ равнобедренные прямоугольные, поэтому  . По свойству вписанного угла

,

откуда

.

Ответ: 71.

Задание 17. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.

Решение.

Изначально была взята сумма долга, равная 300 000 рублей. По условию задачи сначала сумма долга увеличивается на r%, то есть в   раз, получаем сумму 300000∙k. После этого, вносится платеж, равный 160 000 рублей. Остаток суммы долга становится равным

 рублей.

В следующем году остаток также увеличивается в k раз

и вносится сумма в 240 000 рублей:

 рублей.

По условию задачи за два года долг полностью гасится, то есть, имеем:

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Имеем один положительный корень 6/5 (отрицательный не берется, так как ставка по кредиту не может быть отрицательной). В результате получаем:

Таким образом, кредит планируется взять под 20% годовых.

Ответ: 20.

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень.