Неявний метод Ейлера.

Ф ормула інтегрування неявного методу Ейлера відрізняється від формули явного методу обчисленням значень у наступній точці по значеннях в цій же точці (неявне представлення шуканої величини ) і має вигляд:

(1.7)

Особливістю цієї формули інтегрування є необхідність розв’язувати систему рівнянь на кожному кроці інтегрування відносно , який присутній в правій і лівій частинах рівняння. Крок у неявному методі Ейлера обмежений тільки точністю інтегрування. Допустима похибка апроксимації на крок задається, як . Після виконання чергового кроку інтегрування розраховується похибка , що повинна бути менше допустимої,

(1.8)

Обчислення за формулою 1.8 починаємо з 3-ї ітерації, оскільки для розрахунку потрібні значення . Якщо хоча б одне , то крок зменшується у два рази і повторюють розрахунки. Якщо для всіх і, то крок розраховується за формулою:

, (1.9)

чи вибирається по методу трьох зон (як правило, m = 2):

(1.10)

Остаточно вибирається найменший крок серед всіх значень hⁱ. Часто використовують значення m = 2.

Наприклад: розв’яжемо систему лінійних ОДР (формула 1.6).

1. Задаємо початкові умови і початкові дані х_поч , х_кін , _доп: х_1,0 = х_2,0 = 0, _доп = 0,1.

2. Розрахуємо крок інтегрування за формулою 1.9 чи 1.10. Для початкових ітерацій виберемо його таким як і в попередньому прикладі: h = 0,3.

3. Розв’яжемо систему відносно х_к+1.

4. Виведемо на екран результати.

5. Розрахуємо значення невідомих на перших трьох ітераціях.

6. Починаючи з 3-ї ітерації обчислимо (формула 1.8). Якщо умови точності виконуються (у прикладі _доп = 0,1) та х_к+1<x_кін, перейдемо до наступної ітерації з тим же кроком (тобто до п.3). Інакше розрахуємо новий крок – перейдемо до п.2.

Неявний метод Ейлера може застосовуватися для розв’язання більшості систем ОДР як з малим, так і з великим розсіюванням постійних часу, але трудомісткість кожного кроку значно вище ніж у попередньому методі. Він абсолютно стійкий в області уявної вісі, але дає більш сильне затухання коливальних процесів у порівнянні з реальними коливаннями (має велику похибку розв‘язків).

Метод Гюна

Цей метод використовує фундаментальну теорему аналізу, тобто інтегрування функції y(x) на інтервалі [x_k ; x_k+1] :

(1.11)

Якщо з формули (1.11) виразити y(x_k+1), то отримаємо формулу (1.4):

Для наближеного обчислення визначеного інтегралу використаємо метод трапецій з кроком h = x₁ – x₀ :

(1.12)

Оскільки рівняння неявне – у правій і лівій частинах є значення – для перетворення його у явний вигляд скористаємося формулою Ейлера для , що знаходиться у правій частині рівняння:

(1.13)

Д ля обчислення послідовності точок, що є розв‘язком задачі, використовуємо перше наближення за методом Ейлера, позначивши вираз для заміненого через p_k+1:

(1.14)

При визначенні похибки остаточний елемент у формулі трапецій, що використовується для наближення інтегралу з формули (1.4), дорівнює

(1.15)

Якщо ми обрахуємо на кожному кроці лише цю похибку, то накопичена похибка на m кроках :

(1.16)

Тобто при зменшенні кроку вдвічі, похибка повинна зменшитися в 4 рази.