Симплекс-таблицы.
Система ограничений представляется в виде
а линейная форма представляется в виде
В приведенных
уравнениях свободные переменные есть
.
Координаты исходного базиса есть
.
Этому состоянию соответствует симплекс таблица 1.
Базисные переменные |
Свободные члены |
Переменные |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
|
… |
|
||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
… |
|
|
|
|
|
Линейная форма
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
|
|
|
|
Симплекс таблица 1.
Пусть разрешающим
элементом является
.
Тогда очередной шаг симплекс- метода
состоит в переходе от базиса
к базису
через
систему:
…
…
При этом линейная форма принимает вид :
Базису
соответствует
симплекс таблица 2.
Базисные переменные |
Свободные члены |
Переменные |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
|
… |
|
||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
… |
|
0 |
|
|
|
… |
… |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
… |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
… |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
… |
|
0 |
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
… |
|
0 |
|
|
|
Линейная форма
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
… |
0 |
|
… |
|
0 |
|
|
|
Симплекс таблица 2
Координаты базиса
Линейная форма
в этом базисе
.
Строки симплекс-таблицы 2 формируются следующим образом:
1.Выбираются
варьируемая переменная, например
,
и отыскивается разрешающий элемент
.
2.Строка, содержащая
разрешающий элемент
умножается на величину
.
Значения полученных при этом элементов
записываются на месте соответствующих
элементов старой строки.
3.К каждой из строк симплекс-таблиц 1 поочередно прибавляются полученная в п. 2 строка, умноженная на такой коэффициент, при котором сумма элементов двух складываемых строк в столбце обращается в нуль.
4.Анализируются
элементы строки линейной формы. Если,
за исключением
,
все
( k-для
коэффициентов при n
свободных переменных) удовлетворяют
условию
в задаче максимизации линейной формы
или условию
в задаче минимизации линейной формы,
то оптимальное решение найдено. Если
указанные условия не выполняются, то
вычисления продолжают относительно
полученного базиса, переходя к п.1.
Пример.
Минимизировать линейную форму:
Система ограничений в каноническом виде:
Линейную форму запишем в виде
Симплекс таблица 1.
Базисные переменные |
Свободные члены |
переменные |
переменные |
|||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
Линейная форма |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
Координаты первого базиса
линейная форма
.
В качестве
варьируемой переменной выбираем
.
Разрешающий элемент
.
Согласно алгоритму формирования симплекс таблиц получим для второго базиса
Базисные переменные |
Свободные члены |
Переменные |
Переменные |
|||
|
|
|
|
|
||
|
5 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
-2 |
1 |
|
1 |
0 |
-1 |
1 |
5 |
0 |
Линейная форма |
-2 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
Координаты базиса
линейная форма
.
Так как коэффициенты линейной формы при свободных переменных и второго базиса не удовлетворяют условиям минимума линейной формы, то расчет продолжаем, переходя к третьему базису, формируя для него симплекс-таблицу.
Базисные переменные |
Свободные члены |
Переменные |
Переменные |
|||
|
|
|
|
|
||
|
28/5 |
1 |
7/5 |
3/5 |
0 |
0 |
|
12/5 |
0 |
3/5 |
2/5 |
0 |
1 |
|
1/5 |
0 |
-1/5 |
1/5 |
1 |
0 |
Линейная форма |
11/5 |
0 |
-4/5 |
-1/5 |
0 |
0 |
Так как коэффициенты линейной формы при свободных переменных имеют отрицательный знак, то оптимальное решение найдено. Координаты оптимального базиса
Значение линейной
формы в этом базисе
.
Лекция 11
Динамическое программирование
в дискретной форме.
Динамическое программирование в дискретной форме является декомпозиционным методом решения задач статистической оптимизации.
Он позволяет задачу
большой (N-
мерной) размерности свести к N-
одномерным задачам. В динамическом
программировании критерий оптимальности
должен быть функцией Марковского типа,
т.е. он может быть представлен в виде
функции от состояния
,
в которое приходит последний объект в
результате воздействия
-го
управления, и от оставшегося управления
,
т.е
Предполагается, что процесс протекающий в исследуемом объекте, можно рассматривать как многостадийный (N-стадийный).
Он представлен на рис
Рис. Многостадийный процесс
На рис переменные есть:
-
состояние перед i-ой
стадией;
- уравнение на i-ой стадии;
-
составляющая критерия оптимальности,
полученная на i-ой
стадии.
Состояния соседних стадий связаны выражением
(i=1,…,N)
Рассматривается критерий оптимальности в виде
В основе динамического программирования лежит принцип оптимальности:
“ Оптимальная
стратегия обладает таким свойством,
что для любых значений управлений,
,
при которых система пришла в состояние
,
оставшиеся управления
должны принимать такие значения, при
которых критерий оптимальности принимает
наилучшее значения относительности
состояния
.
Лекция 12