3. Балансовые модели

Балансовые модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Если вспомнить историю народного хозяйства как Советского Союза и России, так и других развитых стран, то можно наблюдать, что в экономике многих государств в разное время случались экономические кризисы разных крайностей от кризисов перепроизводства (США, середина ХХ века), до дефицита (Россия, конец ХХ века). Все эти экономические кризисы связаны с нарушением баланса между производством и потреблением. Из этих фактов видно, что баланс между произведенной продукцией и потреблением является важным критерием как для макроэкономики, так и для микроэкономики.

Экономико-математические модели баланса пытались выстроить многие экономисты и математики с самого начала возникновения проблемы, однако, наиболее полную балансовую модель удалось построить в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым (который после революции эмигрировал в США и за свою модель получил Нобелевскую премию в области экономики). Эта модель позволяла рассчитать баланс между несколькими взаимодействующими отраслями, хотя

• можно легко обобщить и для организаций микроэкономики, например, для вычисления баланса между несколькими взаимодействующими предприятиями или между подразделениями одного предприятия (например, цехами одного завода).

Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции; а с другой — как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Предположим, что рассматривается п отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть общий объем произведенной продукции i-й отрасли равен X _i . Полная стоимость продукции, произведенной i-й

отраслью, будем называть валовым продуктом этой отрасли. Теперь рассмотрим, на что тратится продукция, производимая отраслью. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и потребление другими отраслями, связанными с этой отраслью. Количество продукции i-й отрасли, предназначенной для конечного потребления (вне сферы материального производства) личного и общественного j-й отраслью, обозначим x _ij . Оставшаяся

часть предназначена для реализации во внешнюю сферу. Эта часть называется конечным продуктом. Пусть i-я отрасль производит Y_i конечного продукта.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид

n
X i  xij  Yi , (i= 1, 2, …, n).	(3.1)

j 1

Уравнения (3.1) называются соотношениями баланса.

Можно также рассчитать такой показатель, как чистую продукцию C_j , которая

равна разности между валовым продуктом и суммарным потреблением данной отраслью:

n
C j  X j  xij .	(3.2)

i1

x_ij .

Все ранее рассмотренные показатели можно записать в основную балансовую таблицу:

Отрасль	Потребление отраслей, x ij					Конечный			Валовойпр
					продукт, Yi			одукт, X i
	1	2	…	n
1	x11	x 12	…	x 22	Y1				X 1
2	x 21	x 22	…	x 2n	Y2				X 2
…		…			…				…
n	x n1	x n2	…	x nn	Yn				X n
Чистый					n		n		n
продукт C j	C1	C2	…	Cn	Cj 		Yi		 X i
					j 1		i 1		i 1

• результате основная балансовая таблица содержит четыре матрицы: матрицу межотраслевых производственных связей

 x

x

...

x





X





11

12

1n 



1



 x21

x22 ...

x2n 



X 2



xij  

... ...



; матрицу валовой продукции

X i  

...



; матрицу











xn 2 ...







 xn1

xnn 



X n 

	Y	
	 1	
конечной продукции Y 	Y2		и матрицу чистой продукции C		 C , C		,..., C		.
i	...			j	1	2		n
		
	Y	
	 n	

Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта Y_i , если известно распределение конечного X _i . Для этого введем коэффициенты прямых

затрат
a			xij	.	(3.3)
	ij
			X j

Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы x_ij на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей Х.

Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j-й отрасли, необходимой для производства единицы продукции i-й отраслью. Из

выражения (3.3) можно получить: x_ij  a_ij X _j . Подставив последнее выражение в соотношение баланса (3.1), получим

					n
					X i  aij X j  Yi .	(3.4)
					j 1
Если	обозначить				матрицукоэффициентовпрямых	затраткак
 a	a	...	a	
 11	12		1n 
a21	a22 ...		a2n 		, то соотношение баланса (3.4) в матричном виде можно
A  	... ...			
				
	an 2 ...			
an1			ann 

записать в виде
X  AX  Y .	(3.5)

Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при

известном значении валового
Y  X  AX  (E  A) X ,	(3.6)

1		0 ...	0	
	0	1 ...	0	
				
где E  		... ...			— единичная матрица того же размера, что и А.
				
	0	0 ...	1	
				

• р и м е р 1 . Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу

				10		20	15	10	
					5	10	0	10	
									
межотраслевых производственных связей вида xij  					25	10	15	5		и матрицу
									
					20	10	15	10	
									
	100		
		50	
валовой продукции вида				. Необходимо определить конечный продукт Y и
	X  	150	
			
			
	100		

чистый продукт C каждой отрасли.

Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента

матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы

Например, первое значение Y₁ равно 100 – (10 + 20 + 15 + 10) = 45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции

• суммы элементов соответствующих столбцов матрицы x_ij . Например, первое

значение C1	равно	100 – (10 + 5 + 25 + 20) = 40. В результате получим основную
балансовую таблицу:
Отрасль	Потребление отраслей, x ij				Конечный		Валовойпрод
						продукт, Yi	укт, X i
	1	2	3	4
1	10	20	15	10		45	100
2	5	10	0	10		25	50
3	25	10	15	5		95	150
4	20	10	15	10		45	100
Чистый	40	0	105	65		 = 210	 = 400
продукт, C j
Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на
							150		
									
							100		
будущий период, если валовой продукт окажется равным X							новый  100			. Для
									
									
							150		

решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:

						 10											20									15						10 
																																		
								100									50									150				100
																																									0,1				0,4		0,1		0,1 
								5									10									0				10											0,05				0,2		0		0,1		
																																																			
A  a								100									50									150				100																								.
																																																			
			ij					25									10									15				5											0,25				0,2		0,1		0,05
																																																			
																																																			
								100									50									150				100											0,2				0,2		0,1		0,1
																																																			
								20									10									15				10				
																																		
																	50									150
						100																								100 
По формуле (3.6) получим
1		0		0					0					 0,1										0,4					0,1				0,1 									0,9				 0,4		 0,1				 0,1 
	0	1		0			0									0,05								0,2					0				0,1									 0,05				0,8		0				 0,1			
																																																							
E  A  	0	0		1			0									0,25								0,2					0,1 0,05													 0,25				 0,2		0,9		 0,05									,
																																																									
	0	0		0			1									0,2								0,2					0,1				0,1									 0,2				 0,2		 0,1				0,9			
																																																							



0,9

 0,4

 0,1

 0,1 

150





 0,05

0,8

0

 0,1







Y

 (E  A) X









100





новый





100



новый

 0,25

 0,2

0,9

 0,05











 0,2

 0,2

 0,1

0,9











150



 0,9 150  0,4 100  0,1100  0,1150



 70











 0,05 150  0,8 100  0 100  0,1150 57,5

• ^_ 0,25 150  0,2 100  0,9 100  0,05 150^_ ^_ 25 ^_^{. }_  0,2 150  0,2 100  0,1100  0,9 150 ^_ ^_ 75 ^_

Важнейшая задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А (или при возможности рассчитать этот показатель) обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Из уравнения (3.6) можно выразить валовой продукт

	X  (E  A)1 Y .		(3.7)
Матрица S  (E  A)1 называется матрицей полных затрат. Каждый элемент
Sij матрицы	S есть величина валового выпуска	продукции	j-й отрасли,
необходимого	для обеспечения выпуска единицы	конечного	продукта i-й
отрасли.

• р и м е р 2 . В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей

	x		20		30			100	
за отчетный период определяется матрицами		ij					,	Y 	 .
				25	40				
								135	

Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу

Отрасль	Потребление		Конечный	Валовой
	м/с	с/х	продукт	продукт
м/с	20	30	100	150
с/х	25	40	135	200
Чистый	105	130	235	350
продукт

Предположим, что на будущий период планируется конечная			продукция в
объемах Y	150		Х		при
		 . Нужно определить, какой валовой продукт		новый
новый		
	170	

этом нужно планировать. Найдем коэффициенты прямых затрат:

 20

30







0,13

0,15



a

150

200







0,17

0,2



,

ij



25

40















200

150



1

0

0,13

0,15

 0,87

 0,15



(E  A) 









 .



0

1





0,17

0,2





 0,17

0,8















Найдем матрицу	S  (E  A)1 . Обратную			матрицу найдем методом
алгебраических дополнений.		detE  A 0,870,8 (0,15)(0,17)  0,67 .
Определитель	равен
		______	 0,8	0,17 
Алгебраические дополнения:		E  A		 .
				
			0,15	0,87 

______ T	 0,8		0,15	
Транспонируем ее: E  A					. Делим каждый элемент на
		0,17	0,87	
				

определитель: