8.4. Интегральные оценки качества
Интегральные оценки дают обобщенную оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины, в виде единого числового значения.
Находят применение первые три из перечисленных в списке интегральные оценки:
и
—
линейные интегральные оценки (не
чувствительны к высшим производным
координат САУ).
и
—
квадратичные интегральные оценки (не
чувствительны к высшим производным
координат САУ).
—
улучшенная
квадратичная интегральная оценка
(чувствительна к значению скоростной
составляющей в движении координат САУ).
—
интегральные
оценки более высоких порядков
(чувствительны к значению скорости,
ускорению,... координат САУ).
Графическая интерпретация свойств линейной и квадратичной интегральных оценок представлена на рис. 7.
1. Пусть имеем переходные функции .
Рис. 7. Линейная и интегральная квадратичные оценки качества САУ
Рассмотрим линейные интегральные оценки:
и
.
Очевидно, что чем меньше значение оценки или , тем лучше переходный процесс, но:
a) Оценка не может применяться к колебательному переходному процессу.
b) Аналитическое вычисление оценки по коэффициентам уравнения ошибки затруднено.
c) Одно значение оценки может соответствовать переходным процессам с разной колебательностью (если совпадают мажоранты и миноранты).
2. Ограничения "a" и "b" для оценок и преодолеваются квадратичными интегральными оценками и :
и
..
Заметим, что оценку
можно
получить нахождением оценки
,
если подать на вход САУ не ступенчатую
,
а дельта функцию
.
Применение оценки
ограничено
тем, что она не чувствительна к
установившемуся значению ошибки
.
3. Ограничение "b" для оценок , , и снимается улучшенной квадратичной интегральной оценкой:
где:
—
начальное значение отклонения в
переходном процессе.
Очевидно, что
будет
минимальна при
.
Решение этого дифференциального
уравнения есть экспонента:
,
а
.
Следовательно,
улучшенная квадратичная интегральная
оценка
будет
иметь минимум при приближении переходной
функции к заданной экспоненте (с
постоянной времени
).
4. Можно использовать улучшенные интегральные оценки более высоких порядков. Например:
.
Здесь оценка будет
иметь минимум, только при перемещениях
координат САУ с определенными скоростью
и ускорением, которые определены
постоянными времени
и
соответственно.
Очевидно, что дифференциальным уравнением
второго порядка можно определить
желаемый переходный процесс с заданным
затуханием.
Определение величин интегральных оценок может производиться аналитическими и численными методами. Последние заключаются в интегрировании величины ошибки САУ в процессе определения ее переходных характеристик. Аналитический расчет квадратичных интегральных оценок позволяет вычислять их величины непосредственно по передаточным функциям САУ.
Для аналитического расчета можно воспользоваться теоремой Парсеваля:
.
Если ошибка
,
то ее изображение:
.
Для нахождения
и
мы
должны подавать сигналы
и
.
Их изображения Фурье соответственно
равны:
и
.
Тогда установившиеся значения выходной координаты и, соответственно, значения передаточная функция для этих режимов:
и
.
В итоге изображения ошибок:
и
А квадратичные интегральные оценки определяются как:
и
.