1.10 Тензоры деформации и скоростей деформации

Характерной чертой движения сплошной среды является изменение со временем расстояния между отдельными ее точками. Разница в величинах перемещений различных точек частицы сплошной среды вызывает ее деформацию.

Бесконечно малый параллелепипед , вырезанный из сплошной среды около произвольной точки , вследствие различия перемещений его точек деформируется, т. е. изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.

На рис. 1.5 изображены два ребра этого параллелепипеда: ребро , параллельное оси , и ребро , параллельное

Рисунок 1.5 – Два ребра элементарного параллелепипеда до деформации и после нее

оси . Длина ребра равна , ребра - . После деформирования точки займут новые положения - . При этом точка получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа и . Точка , отстоящая от точки на бесконечно малом расстоянии , получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещений точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты :

, .

Составляющие перемещения точки будут отличаться от составляющих перемещений точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты :

, .

Длина проекции ребра на ось после деформации будет

.

Проекция абсолютного удлинения ребра на ось равна

.

Относительное удлинение вдоль оси называется линейной деформацией по направлению оси . Она равна

.

Аналогично получим линейные деформации по направлениям координатных осей и :

, .

Итак, линейная деформация по любому направлению равна частной производной составляющей перемещения в этом направлении по переменной в том же направлении.

Следовательно, введенные ранее величины представляют собой линейные деформации по направлениям соответствующих координатных осей.

Рассмотрим изменение углов между ребрами параллелепипеда (рис. 1.5). Тангенс угла поворота ребра в плоскости равен

.

Ограничиваясь рассмотрением только малых деформаций, можно полагать и пренебречь линейной деформацией по сравнению с . Тогда

.

Аналогично находим угол поворота ребра в той же плоскости:

.

Угол сдвига в плоскости , т. е. искажение прямого угла , называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :

.

Аналогично найдем угловые деформации в двух других координатных плоскостях:

, .

Итак, угловая деформация в любой плоскости равна сумме частных производных составляющих перемещения в этой плоскости по переменным в перпендикулярных направлениях.

Приведенные выше формулы дают шесть основных зависимостей составляющих линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения:

, , , ,

, .

Они носят название формул Коши.

Правило знаков для составляющих деформации:

- положительным линейным деформациям отвечают удлинения по соответствующим направлениям, а отрицательным - укорочения;

- положительным угловым деформациям соответствует уменьшение углов между положительными направлениями координатных осей, а отрицательным - увеличение тех же углов.

В процессе деформирования изменяется объем тела. Подсчитаем изменение объема бесконечно малого параллелепипеда, объем которого до деформирования . С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка можно считать, что изменение объема связано только с изменением длины ребер, но не с угловыми деформациями. Длины ребер параллелепипеда, равные до деформации, после деформации будут равны соответственно

, , .

Объем параллелепипеда после деформации найдем как произведение новых длин ребер:

.

Раскрывая скобки, получаем

.

Пренебрегая в скобках величинами второго и третьего порядка малости и учитывая, что , находим

.

Относительная объемная деформация равна

.

Обозначая относительное изменение объема через , получаем

.

Таким образом, объемная деформация равна сумме трех линейных деформаций по взаимно перпендикулярным направлениям.

Ранее (см. раздел 1.9) мы показали, что сумма трех линейных деформаций по взаимно перпендикулярным направлениям является инвариантом деформированного состояния. Следовательно, объемная деформация является инвариантом по отношению к выбору системы координат.

Таким образом, доказано, что шесть величин: , определяющих введенную ранее функцию , характеризуют деформацию частицы сплошной среды. Они носят название компонентов малой деформации.

Совокупность этих шести величин, зависящих от , образуют так называемый афинный ортогональный тензор второго ранга (на доказательстве этого утверждения мы не останавливаемся), который называется тензором деформации.

Тензор деформации в каждой точке пространства характеризует деформацию частицы сплошной среды, окружающей данную точку. Обозначим этот тензор через и изобразим его, как принято, в виде следующей таблицы:

.

Компоненты тензора, расположенные вдоль главной диагонали таблицы, называются диагональными, а остальные - недиагональными. Недиагональные компоненты, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой - тензор деформации симметричен. Среди девяти компонент тензора деформации различных между собой только шесть.

Если этот тензор обращается в нуль, т.е. если все девять составляющих вышеуказанной таблицы равняются нулю, то, следовательно, и . Это означает, что деформация частицы в окрестности точки отсутствует и частица перемещается как твердое тело.

Напомним, что поле скоростей в деформационном движении элементарного объема сплошной среды характеризуется своей совокупностью величин: .

Учитывая кинематический смысл компонентов малой деформации, не трудно заключить, что величины представляют собой скорости относительного удлинения элементов, расположенных параллельно соответствующим осям координат, а - скорости деформации прямых углов в плоскостях, параллельных соответствующим координатным плоскостям. Шесть величин носят название компонентов скоростей деформации.

Совокупность этих шести величин, зависящих от , также образуют афинный ортогональный тензор второго ранга, который мы обозначим через и который имеет вид:

.

Тензор скоростей деформации позволяет определить поле скоростей деформационного движения элементарного объема сплошной среды, заключающего внутри себя точку, в которой тензор задан.

Тензор скоростей деформации также является симметричным. Среди девяти компонент тензора скоростей деформации различных между собой только шесть.

Компоненты тензоров деформации и скоростей деформации меняются при переходе от одной точки среды к другой и могут в каждый данный момент времени рассматриваться как функции координат точек пространства, где заданы тензоры, иными словами, с потоком сплошной среды связаны поля тензора деформации и тензора скоростей деформации, характеризующие деформационное движение элементарных объемов сплошной среды.