Задачи для самостоятельного решения
Найти область сходимости данных рядов:
Разложить функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки
Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции
в окрестности точки
Разложить функции в ряд Маклорена:
;
;
;
.
Разложить функции в ряд Тейлора:
по степеням
;
по степеням
;
по степеням
.
Вычислить приближенно:
с точностью до
с точностью до
с точностью до
с точностью до
,
взять 3 члена разложения, указать
погрешность
,
взять 2 члена разложения, указать
погрешность
Ответы:
1) расходится;
2) сходится абсолютно при
;
3) сходится абсолютно при
;
4) сходится при
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23) 0,7788; 24) 0,17365; 25) 4,121; 26) 0,699; 27) 0,323,
погрешность 0,0001; 28) 0,012, погрешность
0,001.
§5 Ряды Фурье.
Пример
1.
Разложить функцию
в ряд Фурье и построить график суммы.
Решение:
Данная
функция терпит разрыв 1 рода в точке
.
Функция удовлетворяет условиям теоремы
Дирихле. В данной задаче период
,
а
.
Разложим функцию в ряд Фурье:
Вычислим коэффициенты ряда. Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
1) Первый интеграл:
2)
Второй интеграл:
3)
Третий интеграл:
Подставим
найденные коэффициенты Фурье
в
формулу:
.
Полученный
ряд Фурье сходится во всех точках
отрезка
и его сумма
равна:
1) самой функции в точках непрерывности функции,
2)
в точке разрыва
,
3)
на концах отрезка
Построим
график суммы ряда
.
На интервале
строим
прямую
,
а на интервале
—
прямую
.
В
точке разрыва
—
,
при
—
.
И
«продолжаем» график на всю числовую
ось с периодом
:
Пример 2.
Разложить функцию
в ряд Фурье.
Решение:
Наша функция
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.
В данной задаче период
,
а
.
Заметим, что функция является
нечетной. Поэтому будем раскладывать
ее в ряд по синусам:
,
где
.
Вычислим коэффициенты
Подставим найденные коэффициенты Фурье в формулу:
.
В
точке
—
,
на концах отрезка —
.
Задачи для самостоятельного решения
Данные функции разложить в ряд Фурье:
в интервале
в интервале
в интервале
Разложить функцию
в интервале
в ряд по синусамРазложить функцию в интервале
в ряд по косинусам
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Список литературы
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — СПб. : Лань, 2009.
Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. — М. : Наука, 2009.
Сборник задач по математике для втузов : в 4 ч. Ч. 2 / под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. — М. : Физматлит, 2009.
Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. 9-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2007.
Стандарт организации СГАУ 02068410-004-2007: Общие требования к учебным текстовым документам. (http://www.ssau.ru/resources/standards)