Динамика

Раздел "Динамика жидкости" предпочтительнее начинать изучать с вязкой жидкости, рассматривая идеальную жидкость как частный случай вязкой.

Все реальные жидкости являются вязкими, то есть обладают свойством внутреннего трения. Надо четко себе представлять, что вязкие жидкости, кроме нормальных напряжений, имеют еще касательные. Особое внимание следует обратить на тензор нап­ряжений и уравнения движения жидкости в напряжениях (в форме Навье).

Идеальной (несуществующей) жидкостью называется жид­кость, в которой коэффициент вязкости настолько мал, что его можно считать равным нулю. Касательные напряжения в вязкой жидкости отсутствуют, а нормальные напряжения определяются давлением. Поэтому уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера можно получить как частный случай из уравнений Навье.

Частным случаем уравнений движения в форме Навье (для вязкой жидкости) и в форме Эйлера (для идеальной жидкости) являются уравнения движения в форме Громека (из конвективной производной выделены слагаемые, описывающие вихревое движе­ние).

Дифференциальные уравнения в форме Эйлера или Громека в общем виде не интегрируются. Интегралы этих уравнений можно получить при выполнении следующих двух условий:

1) жидкость должна быть несжимаемой ( = const) или баро­тропной , то есть плотность должна зависеть только от давления;

2) массовые силы должны иметь потенциал, то есть

Из этих предположений получают важные для теоретических и практических исследований интегралы движений: для стацио­нарного вихревого движения - интеграл Д. Бернулли; для неста­ционарного безвихревого движения - интеграл Лагранжа, или Ко­ши (частный случай установившегося безвихревого движения - интеграл Лагранжа-Бернулли).

Студентам предлагается обратить внимание на возможности замыкания системы уравнений идеальной жидкости и постановку начальных и граничных условий.

Для возможности замыкания уравнений движения вязкой жид­кости (в напряжениях) введены три гипотезы Стокса. Используя гипотезы Стокса, уравнения движения в форме Навье преобразу­ются в уравнения Навье-Стокса, замыкание которых проводится по уже знакомой из предыдущего пункта схеме для уравнений идеальной жидкости.

Интересным разделом является теория подобия. Следует об­ратить особое внимание на числа Рейнольдса и Фруда.

Для описания турбулентных движений проводится усреднение уравнений движения по Рейнольдсу. Студентам необходимо уметь проводить операцию усреднения и знать cоотношения Прандтля.

При рассмотрении волновых движений надо обратить внимание на математическую постановку вопроса. Имеются две сущест­венные особенности волнового движения. Первая - конвективная составляющая ускорения считается настолько малой по сравнению с локальной составляющей, что ею пренебрегают. Вторая - поле скоростей при волновом движении потенциально. Особо надо сделать акцент на граничных условиях на свободной поверхности. Отметим наиболее существенные вопросы: волновое движение, составление диффе­ренциальных уравнений и граничных условий, стоячие волны, прогрессивные волны, скорость распространения волн.

Уравнения гидростатики - частный случай уравнений движе­ния (жидкость находится в статическом равновесии).