Элементы теории непрерывных дробей

Пусть и через обозначим наибольшее целое число, не превосходящее . Тогда при нецелом получим, что , где . Затем для укажем число ближайшее к и не превосходящее его. Таким образом, с , что дает

Продолжая этот процесс далее, получим для

, ,

. . . . . . . . . .

, .

Это в итоге дает разложение числа в непрерывную дробь:

.

Если – число иррациональное, то и всякое , тоже будет иррациональным, поэтому в этом случае процесс разложения может быть продолжен неограниченно.

Если же – рациональное, то оно может быть представлено несократимой обыкновенной дробью с положительным знаменателем, и указанный процесс оказывается конечным и может быть осуществлен с помощью алгоритма Евклида. Именно:

, ,

, ,

, ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, ,

, .

Это приводит к разложению

.

Числа естественно называть неполными частными (в особенности это касается рационального случая). Дроби

, , , . . .

называются подходящими дробями. Они представляют собой приближения к разлагаемому числу. Представим способ описания подходящих дробей. Это сделать достаточно легко, если заметить, что при вычислении в выражении для заменить число на число . Будем описывать подходящую дробь в виде при этом полагая для единообразия , а . Равенство будем понимать как . Тогда имеем

,

,

, . . .

Далее, легко проверить индукцией, что

. (13.4)

Значит, числители и знаменатели подходящих дробей для можно вычислять по рекуррентным формулам

(13.5)

	0	1	2	3	. . .
					. . .
	1				. . .
	0	1			. . .

Опишем схему вычисления для рационального случая.

Пример 13.2. Разложить в непрерывную дробь число . Найдем неполные частные, применяя алгоритм Евклида. Имеем

,

,

,

,

.

	0	1	2	3	4	5
		5	1	5	1	2
	1	5	6	35	41	117
	0	1	1	6	7	20

В итоге получаем разложение

.

Для дальнейшего потребуется одно специальное свойство числителей и знаменателей подходящих дробей.

Лемма 13.8. При имеет место равенство

.

Доказательство. Обозначим левую часть соотношения через . Тогда при получим, что . Вычислим .

.

Таким образом, видно, что с изменением аргумента на единицу левая часть соотношения меняет знак. Теперь с учетом значения получаем требуемое.

Пример 13.3. В завершение построим еще разложение в непрерывную дробь числа, являющегося квадратичной иррациональностью. Пусть . Тогда имеем

Понятно, что это разложение можно продолжать неограниченно долго.