Задача о пересечении гиперплоскостей

Пусть – евклидово пространство и – гиперплоскость в нем. Как известно, если , то размерность направляющего подпространства .

Естественно считать . Пусть , тогда . Так как по теореме 8.5, то базис состоит из одного вектора, т.е. . Но тогда можно утверждать, что . Последнее равенство можно рассматривать как уравнение гиперплоскости. Учитывая, что и считаются известными, т.е. известное число, то уравнение гиперплоскости переписывается в виде

.

Пусть теперь заданы несколько гиперплоскостей, имеющих непустое пересечение:

(8.2)

Как известно, непустое пересечение плоскостей есть плоскость (см. т. 5.10). В качестве

направляющего подпространства у этой плоскости служит пересечение направляющих подпространств пересекающихся плоскостей. Векторы сдвига в означенной системе можно заменить на один общий по известному свойству, например, . Тогда система (8.2) преобразуется к виду

(8.3)

Сделаем замену: . Тогда система (8.3) запишется в виде:

(8.4)

Если , то размерность пространства решений, или направляющего подпространства плоскости пересечения, очевидно, будет равна , ибо это размерность ортогонального дополнения к линейной оболочке . Сдвигая это подпространство на вектор , получаем плоскость-решение системы.

Так как при поиске векторов не является важным, через какую систему данное подпространство описано, то договоримся для большей простоты, что , а систему и неизвестный вектор опишем в некотором ОНБ. Пусть , а для . Тогда

система (8.4) будет представлена в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений:

Общее решение такой системы, как известно, имеет размерность .

Если в системе (8.3) вычислить скалярные произведения , , то получим

Тогда в координатной форме получим, вообще говоря, неоднородную СЛАУ вида

Здесь в ОНБ.

Итак, задача о пересечении гиперплоскостей сводится к задаче о решении системы

линейных алгебраических уравнений. А всякую систему линейных алгебраических уравнений при понятных преобразованиях можно представить как задачу о пересечении гиперплоскостей.

Ортогональное проектирование на гиперплоскость

Пусть задана гиперплоскость в евклидовом пространстве Е уравнением

,

где есть вектор сдвига, а суть базисный вектор ортогонального дополнения к направляющему подпространству . Пусть теперь будет произвольным вектором из Е. Рассмотрим вопрос о расстоянии от вектора до гиперплоскости. Имеем

.

Отсюда в соответствии с неравенством Коши-Буняковского получим

.

Поэтому ,

т.е. .

Покажем, что в существует единственный вектор , для которого неравенство превращается в равенство. Таким образом, будет показано, что

. (8.5)

Сначала докажем единственность. В соответствии с леммой 8.4 равенство достигается при

.

Пусть это выполняется для двух векторов и . Таким образом,

,

.

Вычитая из первого равенства второе, получим

.

Значит, , но разность двух векторов плоскости принадлежит направляющему подпространству, поэтому . Отсюда , и, следовательно, .

Лемма 8.5. Плоскость в евклидовом пространстве имеет вектор сдвига, ортогональный направляющему подпространству, причем только один.

Доказательство. Существование. Пусть . Представим .

Тогда для любого имеем . Первое слагаемое ортогонально , а второе принадлежит .

Единственность. Если таких векторов, например, два – и , то для получим: для некоторых . Тогда

.

Первое слагаемое принадлежит , а второе – . Значит, , следовательно, .

Пусть теперь будет ортогональным к . Произвольный вектор запишем в виде , . Вектор представим в виде , где . Тогда

.

Если теперь взять , то

.

Вектор , т.е. , что доказывает формулу (8.5). При этом было установлено, что любой вектор пространства может быть представлен в виде суммы

где , а вектор ортогонален к направляющему подпространству . Вектор при этом называется проекцией вектора на гиперплоскость , а вектор – перпендикуляром, опущенным из вектора на .