Теорема Крамера

Общая теория СЛАУ будет построена позже, а пока приведем один частный результат, который позволяет в явной форме представить решение. Это будет случай системы с квадратной основной матрицей, что дает возможность применять теорию определителей, рассмотренную выше. Заметим лишь, что метод большого практического значения не имеет, но зато используется в теоретических построениях. Но сначала, представим произвольную СЛАУ в виде матричного уравнения. Это становится возможным с использованием формальных операций над матрицами, а также условия равенства матриц. Пусть задана система

Введем в обращение матрицу-столбец неизвестных, матрицу коэффициентов при неизвестных и столбец правых частей, именно:

, , .

Тогда соотношения, задаваемые системой можно записать в матричной форме в виде матричного же уравнения

или .

Очевидно, что каждый столбец-решение указанного уравнения является частным решением системы и наоборот, каждое частное решение системы, записанное в виде столбца, будет решением матричного уравнения. Сформулируем теперь основной результат раздела.

Теорема 4.13. Пусть задана СЛАУ от неизвестных с квадратной невырожденной основной матрицей над полем . Тогда общее решение такой системы содержит лишь одно частное решение , которое может быть представлено в виде , где – определитель матрицы системы, а – определитель, получаемый из этой матрицы заменой -го столбца столбцом правых частей системы.

Доказательство. Перепишем систему

В виде матричного уравнения и получим результат, оперируя этим уравнением.

Единственность. Пусть имеется решение уравнения . Тогда . В силу невырожденности матрицы системы можно утверждать, что существует обратная к А матрица по теореме 4.10. Поэтому умножая обе части равенства слева на имеем:

Таким образом, видно, что если решение существует, то оно обязательно равно .

Существование. Подставим в уравнение предполагаемое решение . Получим

Значит, решение существует. Остается показать его явный вид. Для этого воспользуемся явным представлением обратной матрицы.

Суммы в последнем столбце представляют определители, получаемые из определителя матрицы системы заменой соответствующего столбца столбцом правых частей системы и раскрываемые по этому столбцу в соответствии с теоремой 4.5. Теорема доказана.

Пример 4.12. Пусть задана система