11. Виды переходных процессов и частотных характеристик типовых динамических звеньев

Практические занятия по курсу «Системы контроля и управления» основаны на исследовании моделей, создаваемых в пакете MATLAB/SIMULINK. Библиотека объектов пакета SIMULINK позволяет создавать модели самых разных динамических систем – механических, гидравлических, аэрокосмических, электронных. В этом же пакете создаются и системы управления ими. Системы автоматического регулирования различного назначения имеют в своем составе разнообразные по конструкции и принципу действия элементы. Представление системы автоматического регулирования в виде элементов (блоков) позволяет разобраться в принципе их действия и упростить их математическое описание и последующее исследование.

В теории автоматического регулирования можно выделить основные типовые динамические звенья: усилительное (безынерционное, пропорциональное), апериодическое (инерционное), дифференцирующее, интегрирующее, колебательное.

Переходные характеристики звеньев

Переходная, или временная характеристика (функция) звена представляет собой реакцию на выходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия. Переходная характеристика обозначается h(t).

Единичное ступенчатое воздействие (единичная ступенчатая функция) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным.

Единичное ступенчатое воздействие обозначается 1(t) и может быть описано следующим равенством:

Получение переходных и частотных характеристик

Для получения переходных и частотных характеристик и определения их показателей служит дополнение к пакету Simulink – LTI Viewer. Чтобы активизировать это окно, нужно выполнить следующие действия:

В окне новой модели выполнить команду меню Tools > Control Designe> Linear analysis, приэтомоткроетсяокно LTI Viewer. Появится окно на Рис.11.1.

Чтобы присоединить блок анализа к модели, нужно подключить элементы InputPoint (точка входа) и OutputPoint (точка выхода). Элемент InputPoint разместить на линии соединения между источником сигнала и следующим блоком, а элемент OutputPoint – на линии соединения между приемником сигнала и предыдущим блоком. Для этого поместить курсор сначала на линию, исходящую из источника сигнала, нажать правую клавишу мыши, в выпадающем меню активизировать пункт LinearizationPoints>InputPoint. То же проделать на линии, соединяющей модель с приемником сигнала, только выбрать LinearizationPoints>OutputPoint.

Рис.11.1. Окно Linear analysis.

1. Пункт меню NewStep позволяет выбрать Plottype – тип графика, отображаемого в основном окне LTI Viewer (изменяется воздействие, подаваемое на вход исследуемой модели):

• Step – переходный процесс (единичное ступенчатое воздействие);

• Impulse – импульсная переходная характеристика (единичный импульс);

• Bode – логарифмические частотные характеристики ЛАХ и ЛФХ (гармоническое воздействие);

• BodeMag. – отдельно логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ (гармоническое воздействие);

• Nyquist – амплитудно-фазовая частотная характеристика АФЧХ (гармоническое воздействие);

• Pole-Zero – диаграмма распределения полюсов-нулей передаточной функции модели.

После запуска модели нажатием на зеленый треугольник в основном поле LTI Viewer появится график и возникает дополнительная возможность для редактирования и просмотра графиков – контекстное меню Рис.11.2, вызываемое по нажатию правой кнопки мыши на поле графика (не на линииграфика).

Рис.11.2. Контекстное меню в поле LTI Viewer.

Контекстное меню LTI Viewer содержит следующие пункты.

Для переходных характеристик:

• Peakresponse – максимальное значение, перерегулирование и время, на котором отмечено максимальное значение выходной величины;

• Settlingtime – время переходного процесса;

• Risetime – время нарастания выходного сигнала;

• Steadystate – установившееся значение переходного процесса.

Для частотных характеристик:

• Peakresponse – максимальное значение амплитуды и частота, на которой зафиксировано это значение;

• Stabilitymarginsmin/all – точки устойчивости (минимум/все), отображается в первом случае: gainmargin – запас по амплитуде, phasemargin – запас по фазе, частота среза и частота фазового сдвига (atfrequency в соответствующей точке), вывод об устойчивости системы в замкнутом виде. Во втором случае появляется характеристика delaymargin - запас по запаздыванию.

• Grid – включение/выключение сетки графиков.

• Zoom – масштабирование графиков:

• X-Y – по двум осям, с сохранением пропорций;

• In-X – по оси X;

• In-Y – по оси Y;

• Out – вернуть первоначальные (автоматически определенные).

• Properties… – свойства текущего графика.

Окно свойств текущего графика содержит пять вкладок, содержимое которых изменяется в зависимости от того, какой график является текущим. В общем случае:

1. Labels – подписи на поле графика:

• Title – наименование графика;

• X-Label – подпись оси абсцисс;

• Y-Label – подпись оси ординат.

2. Limits – пределы (присутствует опция автомасштаба – Auto-scale):

• X-Limits – предельные (начальные и конечные) значения для оси абсцисс;

• Y-Limits – предельные (начальные и конечные) значения для оси ординат.

3. Units – единицы измерения (аналогичные в пункте меню File>ToolboxPreferences…).

4. Style – управление стилем (внешним видом) окна LTI Viewer (аналогичные в пункте меню File>ToolboxPreferences…).

5. Characteristics – показать/убрать характеристики текущего графика (аналогичные пункту Characteristics контекстного меню LTI Viewer).

Идеальное усилительное (безынерционное) звено

Усилительным (пропорциональным) называют звено, у которого выходная величина в каждый момент времени пропорциональна входной величине. Уравнение усилительного звена:

у = kx,

где k - коэффициент передачи звена (в общем случае размерная величина).

Передаточная функция усилительного звена:

Модель для исследования динамических свойств звена состоит из следующих блоков: Step, Gain, Scope, модель показана на Рис.11.3.

Рис.11.3. Модель для исследования усилительного звена.

Блок Step находится в разделе библиотеки Sources, блок Gain – в разделе Commonlyusedblocks, блок Scope – в разделе Sinks. Показаны точки входа и выхода.

Для изменения коэффициента передачи k усилительного звена необходимо дважды щелкнуть по нему левой кнопкой мыши, появится окно параметров усилительного звена Gain. Для нас важен только коэффициент передачи усилительного звена. Остальные параметры оставляем без изменения. При изменении коэффициента передачи изменяется цифра внутри знака блока, которая и является коэффициентом передачи.

Переходные и частотные характеристики звена представлены на Рис.11.4. Из приведенных характеристик видно, что усилительное звено не оказывает влияния на фазовые частотные характеристики и не изменяет наклон амплитудных частотных характеристик, вследствие чего амплитудно-фазовая частотная характеристика идеального усилительного звена – точка.

Рис.11.4. Переходные и частотные характеристики усилительного звенаck=1.

Для того чтобы убедиться, что оно влияет на установившееся значение переходного процесса, изменим его коэффициент передачи звена, установив k = 2.

Рис.11.5. Переходные и частотные характеристики усилительного звена с k=2.

Из характеристик, приведенных на Рис.11.5, видно, что установившееся значение переходного процесса теперь равно 2, то есть установившееся значение выходного сигнала равно коэффициенту передачи усилительного звена. Действительно для усилительного звена выходной сигнал y = kx, а в случае переходного процесса входным сигналом является x = 1(t), поэтому y_уст = k1 = k = 2.

Для логарифмической амплитудной характеристики A(1) = 20 log(k) = 20 log (2) = 6,02.