Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица
А = (А1, А2,...Аn)
называется невырожденной,
если векторы-столбцы являются линейно
независимыми. Число линейно независимых
векторов-столбцов матрицы называется
рангом матрицы 
.
Поэтому можно сказать, что для того,
чтобы существовала обратная матрица,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы равнялся ее размерности, т.е. r
= n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Пример 1
Для матрицы А найти обратную матрицу А-1
Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1.
В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Ответ: 
Решение матричных уравнений
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например,
чтобы найти матрицу 
из
уравнения 
,
необходимо умножить это уравнение
на 
слева.
Тогда:
Следовательно,
чтобы найти решение
уравнения
,
нужно найти обратную матрицу
и
умножить ее на матрицу 
,
стоящие в правой части уравнения.
Аналогично решаются другие уравнения.
Пример 2
Решить
уравнение АХ = В, если 
Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)
2 Ортогональные операторы в евклидовом пространстве. Их свойства.
http://www.studfiles.ru/preview/4380524/
http://edu.alnam.ru/book_l_alg.php?id=64
Операторы в евклидовых пространствах
Линейные
операторы, действующие в евклидовых
пространствах, обладают рядом специальных
свойств, которые весьма важны для
приложений линейной алгебры в различных
предметных областях. Мы остановимся
только на основных вопросах этой теории,
в частности, будем изучать теорию
линейных операторов исключительно в
вещественных пространствах с
ортонормированными базисами, а именно
в пространстве 
.
Причём операторы будем считать
преобразованиями, то есть будем изучать
операторы
.
Сопряжённый
оператор.
Рассмотрим понятие оператора, сопряжённого
к оператору 
,
действующему в евклидовом пространстве
.
Определение
9.1. Пусть
–
некоторый линейный оператор.
Оператор
называетсясопряжённым
к оператору
,
если 
выполняется
условие
.
(9.1)
Теорема 9.1. Для любого линейного оператора существует единственный сопряжённый оператор , который также является линейным.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть
оператор 
существует,
докажем его единственность. Для этого
предположим, что этот оператор не
единственный, то есть существуют,
например, два оператора
и
,
удовлетворяющих определению 9.1. Тогда
по формуле (9.1) имеем:
, 
,
(9.2)
откуда получаем
.
(9.3)
В
силу того, что в определении 9.1 (в формуле
(9.1)) вектор 
произволен,
положим в равенстве (9.3)
,
получим
.
Так как скалярное произведение удовлетворяет аксиоме невырожденности, из последнего равенства имеем
,
откуда
в силу произвольности вектора 
следует,
что
и
единственность сопряжённого оператора
доказана.
2) Докажем линейность сопряжённого оператора. Используя определение (9.1) и свойства скалярного произведения, получаем:
, 
и
а) 
;
б) 
.
Из сравнения формул а) и б) следует линейность сопряжённого оператора , а именно:
.
3)
Докажем теперь существование сопряжённого
оператора. Зафиксируем в
пространстве 
канонический
базис
,
и запишем векторы
и
в
виде их разложений по каноническому
базису:
; 
.
(9.4)
Рассмотрим вычисление левой и правой частей (9.1):
;
.
Сравнивая два последних равенства с учётом (9.1), получаем:
.
(9.5)
Итак, если матрица оператора имеет вид
,
то матрица сопряжённого оператора имеет вид
.
(9.6)
Из
(9.6) следует, что матрица сопряжённого
оператора
в
любом ортонормированном базисе
находится
путем транспонирования матрицы
оператора
,
что и доказывает существование
сопряжённого оператора.
Докажем теорему о свойствах оператора, сопряжённого линейному оператору.
Теорема
9.2. Справедливы
следующие свойства сопряжённого
оператора 
: 
и
1) 
;
2)
;
3) 
;
4)
;
(9.7)
5) 
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое
соотношение. Пусть
–
произвольный линейный оператор. Для
сопряжённого оператора
сопряжённым
будет оператор
.
Тогда:
.
Последнее
равенство выполняется при любом
векторе 
,
то есть,
,
откуда следует доказательство первого свойства.
Докажем второе соотношение. Для этого рассмотрим следующую цепочку преобразований:
.
(9.8)
Из сравнения левой и правой частей равенства (9.8) следует доказательство второго свойства.
Остальные свойства доказываются аналогично.
Самосопряжённые операторы. В приложениях большое значение имеют самосопряжённые операторы.
Определение
9.2. Линейный
оператор
называетсясамосопряжённым,
если 
.
Из определения следует, что для самосопряжённого оператора справедливо соотношение
.
(9.9)
Так
как матрица сопряжённого оператора
равна
транспонированной матрице оператора
,
то у самосопряжённого оператора элементы
матрицы удовлетворяют равенству
,
то естьэлементы
матрицы самосопряжённого оператора,
симметричные относительно главной
диагонали, равны.
Такая матрица называется симметрической.
По этой причине самосопряжённые
операторы
часто
называютсясимметрическими.
Самосопряжённые операторы обладают рядом свойств, которые нетрудно доказать, используя определение и свойства сопряжённого оператора.
1. Единичный
оператор 
является
самосопряжённым.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,
.
2. Сумма самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Если 
и
,
то
.
3. Композиция самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором в том и только в том случае, если эти операторы коммутативны.
Д о к а з а т е л ь с т во. Напомним, что операторы называются коммутативными, если
,
или
,
где 
–
нулевой оператор. Если
,
,
то
,
что
равно 
в
том и только в том случае, если операторы
коммутативны.
4. Оператор 
,
обратный к невырожденному самосопряжённому
оператору
также
самосопряжённый оператор.
Д
о к а з а т е л ь с т во. Действительно,
если 
,
то
.
5. Если 
–
самосопряжённый оператор, то произведение
этого оператора на некоторое вещественное
число
является
самосопряжённым оператором.
Д о к а з а т е л ь с т во. Из третьего свойства (9.7), имеем:
.
Теорема
9.3. Собственные
векторы самосопряжённого оператора
,
действующего в пространстве
,
соответствующие попарно различным
собственным значениям, взаимно
ортогональны.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 
:
и
,
причём
.
Так как оператор самосопряжённый, то
.
Поэтому в левой и правой частях,
соответственно, имеем:
;
.
Откуда
в силу 
получаем:
.
Для самосопряжённых операторов справедлива следующая важная теорема.
Теорема 9.4. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. В общем случае
доказательство теоремы достаточно
громоздкое. По этой причине приведём
доказательство для случая оператора 
.
Итак, пусть дан некоторый линейный
оператор
с
матрицей
.
Тогда характеристическое уравнение
этого оператора имеет вид:
.
Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение:
.
Решение этого уравнения находим по известной формуле:
.
Дискриминант имеет вид:
.
Первое
слагаемое, очевидно, всегда положительно,
а второе положительно, так как 
.
Поэтому корни характеристического
уравнения вещественные и различные.
Теорема 9.5. Пусть – самосопряжённый оператор. Тогда в пространстве можно выбрать ортонормированный базис
так, чтобы матрица оператора в этом базисе была диагональной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 9.4 все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные, а следовательно, по теореме 9.3 собственные векторы самосопряжённого оператора взаимно ортогональны. Систему собственных векторов, очевидно, можно нормировать. Но тогда эти векторы образуют базис пространства , в котором оператор является оператором простой структуры, то есть имеет диагональную матрицу.
Ортогональные операторы и их свойства, геометрическая интерпретация. Рассмотрим определение и свойства важного класса операторов, действующих в пространстве .
Определение 9.3. Оператор , действующий в пространстве , называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, то есть
.
(9.10)
Из определения следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы (длины) векторов и углы между ними.
Лемма
9.1. Оператор
является
ортогональным в том и только в том
случае, если
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Тогда
,
откуда
имеем: 
.
Полагая
,
получаем:
.
Пусть . Тогда имеем:
.
Очевидно, что ортогональный оператор невырожден, то есть, его матрица имеет обратную матрицу.
Теорема 9.6 (о свойствах ортогональных операторов). Ортогональные операторы обладают следующими свойствами:
1) единичный оператор является ортогональным;
2) композиция ортогональных операторов также является ортогональным оператором;
3) оператор, обратный ортогональному оператору, также является ортогональным;
4) если
–
ортогональный оператор, то оператор
является
ортогональным в том и только в том
случае, если
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1. Доказательство
этого свойства почти очевидно: 
и
.
2.
Пусть 
и
–
ортогональные операторы. Тогда:
.
3.
Пусть
ортогональный
оператор. Рассмотрим
:
.
4. Пусть – ортогональный оператор. Тогда
и
.
Теорема 9.7 (критерий ортогональности оператора). Оператор , действующий в пространстве , является ортогональным в том и только в том случае, если он переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Тогда он, сохраняя скалярное произведение, переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.
Пусть теперь оператор переводит ортонормированный базис
в новый ортонормированный базис
.
Тогда 
и
.
Откуда
.
Рассмотрим свойства матрицы ортогонального оператора.
Теорема 9.8. Система векторов-столбцов (строк) матрицы ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе
является ортонормированной.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
–
некоторый ортогональный оператор и
–
некоторый ортонормированный базис. По
теореме 9.9 система образов базисных
векторов сама является ортонормированной,
то есть
.
Поэтому для столбцов матрицы оператора
,
(как векторов арифметического пространства ) имеем:
.
(9.11)
Аналогичное свойство справедливо и для строк матрицы :
.
(9.12)
Теорема 9.9. Матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе удовлетворяет условию
.
(9.13)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Так как матрицы операторов и связаны соотношениями
,
откуда для матрицы оператора получаем (9.11).
Обратно,
пусть выполнено соотношение (9.11). Тогда 
,
откуда и следует, что оператор
является
ортогональным.
Определение 9.4. Матрица , для которой выполняется свойство(9.13), называется ортогональной.
Приведём некоторые теоремы о свойствах ортогонального оператора.
Теорема
9.10. Собственные
значения ортогонального оператора
действующий
в пространстве
,
равны
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 
.
Тогда
.
Так
как по определению 
,
то
.
Теорема 9.11. Определитель ортогональной матрицы равен
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Для ортогональной
матрицы выполняется равенство 
.
Поэтому
.
Тогда
.