Преобразования, допустимые в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк;

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

5. Вычеркивание повторяющихся строк.

Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.

Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.

Экзаменационный билет № 15

1. Преобразование матрицы линейного оператора при смене базиса.

http://www.math.mrsu.ru/text/courses/method/preobraz.htm

Пусть V – линейное пространство, А – линейный оператор из  ,   и   – два базиса в V и   – формулы перехода от базиса   к базису  . Обозначим через   матрицу перехода от базиса к базису. Отметим, что ранг матрицы С равен n. Пусть  и   – матрицы оператора А в указанных базисах.

Теорема 7.1. Матрицы А и   оператора А в базисах   и   связаны соотношением  .

Доказательство. При воздействии линейного оператора А вектор   пространства    переводится в вектор   этого пространства, т.е. справедливо равенство

= А                                                    (7.3)

(в старом базисе) и равенство

= А                                                  (7.4)

(в новом базисе). Так как   – матрица перехода от старого базиса к новому, то

                                                 (7.5)

                                                (7.6)

Умножим равенство (7.5) слева на матрицу  , получим А  = АC  и с учетом (7.3)   = АC . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (7.6), получим: С  = АC  или   = С^–1 АC . Сравнивая найденное выражение с равенством (7.4), получим доказываемую формулу.

Отсюда следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса.

2. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной системы линейных уравнений.

http://matemonline.com/primeru/fsr/

Фундаментальная система решений (конкретный пример)

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи здесь!!!

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув здесь. Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений: Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы. Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под a11, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента a21, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента a31, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента a41, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента a31, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке. Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под a22, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента a32, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента a42, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента a52, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке. Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми. По этой матрице записываем новую систему уравнений. Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо. Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим x3, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим x2, а потом в первое уравнение и тут выразим x1. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части. После чего вы вместо x4 и x5, можем подставлять любые числа и находить x1, x2 и x3. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо x4 подставить 1, а вместо x5 подставить 0, найти x1, x2 и x3, а потом наоборот x4=0 и x5=1.

Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 16

1. Действия над матрицами. Обратная матрица. Матричные уравнения.

http://www.studfiles.ru/preview/5680005/

http://greleon.ru/vishmath/lekcii/173-lekciya-matricy-osnovnye-vidy-matric-deystviya-nad-matricami.html

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/obratnaya-matrica.html

Обратная матрица

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А^-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А^-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.