Экзаменационный билет № 13

1. Образ и ядро линейного оператора в линейном пространстве.

http://www.studfiles.ru/preview/893437/page:6/

Определение:

, тогда его ядром

это множество тех векторов пространства L, которые операторомAпереводятся в 0.

Примеры

1) 

2) А– проектирование пространства на плоскостиX0Y

Свойства ядра:

Лемма:ядро всякого оператора – это инвариантное подпространство.

Доказательство.

1) Если  , то их линейная комбинация так же лежит в ядре. Рассмотрим

2) Образ ядра – это 0.

ч.т.д.

Определение:

Образ – это множество всех образов, образ оператора A:ImA– это множество всех векторов из пространстваL, которые могут быть записаны как образы Каши (?) либо элементов

ПримерДифферен. образ-

1) 

2) оператора проектирования 

Лемма:

Образ линейного оператора инвариантное подпространство.

= инвариантное подпространство

Доказательство:

1)  рассмотрим

Если 2 элемента лежат в образе, то их линейная комбинация лежит в образе.

2) Докажем, что это подпространство инвариантно.

3) Лемма:размерность ядра и образа линейного оператора.

, dim A=n,

тогда n=m+r

Доказательство.

Зафиксируем какой-нибудь базис

- базис

построим матрицу оператора в этом базисе

- матрица

среди векторов  ;r –ЛНЗ следовательно …

Вектора  порождают образы – это система образующих, тогда в -r– ЛНЗ столбцов следовательно.

рассмотрим ядро.

2)  Xe=0

=rang rпространство решенийn-r системы размерность

эта размерность и есть размерность ядра m=n-r

==

- базис каждому

y=Ax 

ImAтогда соответствует

- это линейные комбинации столбцов матрицыА

2 Решение неоднородных систем линейных уравнений. Представление общего решения в векторной форме.

http://www.cleverstudents.ru/systems/solving_systems_of_linear_equations.html

Экзаменационный билет № 14

1. Матрица линейного оператора и ее свойства.

http://www.studfiles.ru/preview/1625290/

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A(u + v) = A(u ) + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u).

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных иликомплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Свойства:

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица  такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть 

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Ассоциативность сложения:  Коммутативность сложения: 

Ассоциативность умножения: 

Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:  . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица  существует.