2. Теорема Кронекера-Капелли.
http://function-x.ru/systems_kroneker_kapelli.html
Теорема
Кронекера-Капелли о совместности
системы. Для
того, чтобы система линейных уравнений
была совместна, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы этой системы был
равен рангу её расширенной матрицы, то
есть чтобы 
.
Здесь матрица A (матрица системы) - это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:
В свою очередь матрица В (расширенная матрица) - это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:
Ранги
этих матриц связаны неравенством 
,
при этом ранг матрицы В может
быть лишь на одну единицу больше ранга
матрицы A.
Теорема
о числе решений. Пусть
для системы m линейных
уравнений с nнеизвестными
выполнено условие совместности, то есть
ранг матрицы из коэффициентов системы
равен рангу её расширенной матрицы.
Тогда, если ранг матрицы равен числу
неизвестных (
),
то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы системы меньше числа
неизвестных (
),
то система имеет бесконечно много
решений, а именно: некоторым n - r неизвестным
можно придавать произвольные значения,
тогда оставшиеся r неизвестных
определятся уже единственным образом.
Если
ранг матрицы системы линейных уравнений
равен числу уравнений, то есть 
,
то система совместна при любых свободных
членах. В этом случае ранг расширенной
матрицы также равен m,
так как ранг матрицы не может быть больше
числа её строчек.
В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:
1)
отыскать в матрице системы A ранга 
отличный
от нуля минор 
порядка,
равного рангу матрицы системы, то есть
ранга r;
2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;
3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .
Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений
Если система совместна, то решить её.
Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор
отличен
от нуля, поэтому последнее уравнение
отбрасываем и неизвестному 
придаём
произвольное значение 
.
Оставшиеся неизвестные определяются из системы
Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим
,
,
.
Присоединяя
сюда 
,
получаем все решения данной системы
линейных уравнений.
Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений
Если система совместна, то решить её.
Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:
.
Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:
.
Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:
Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим
,
,
.