Экзаменационный билет № 11

1. Переход к новому базсу в линейном пространстве. Матрица перехода.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Переход к новому базису

Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый e_l, e₂,...e_nи новый e _l^*, e₂^*,...e_n^*. Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода

Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.

Матрица А - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А^-1.

Пусть вектор Х имеет координаты (х_l, х₂,... х_n) относительно старого базиса и координаты (х_l^*, х₂^*,... х_n^*) относительно нового базиса, т.е. Х = x_le_l + x₂e₂ +...+ x_ne_n = x_l^*e_l^* + x₂^*e₂^* +...+ x_n^*e_n^*.

Подставим в это уравнение значения e_l^*, e₂^*,...e_n^*из предыдущей системы:

x_le_l + x₂e₂ +...+ x_ne_n = x_l^*(a₁₁e_l + a₁₂e₂ + … + a_1ne_n) + x₂^*(a₂₁e_l + a₂₂e₂ + … + + a_2ne_n) +...+ x_n^*(a_n1e_l + a_n2e₂ + … + a_nne_n)

0 = e_l( x_l^*a₁₁ + x₂^*a₂₁ + … + x_n^*a_n1 - x_l) + e₂( x_l^*a₁₂ + x₂^*a₂₂ + … + x_n^*a_n2 – x₂) + + … + e_n( x_l^*a_1n + x₂^*a_2n + … + x_n^*a_nn – x_n)

В силу линейной независимости векторов e_l, e₂,...e_nвсе коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:

или в матричной форме

Умножим обе части на А^-1, получим:

Например, пусть в базисе e_l, e₂, e₃заданы вектора а₁= (1, 1, 0), а₂= (1, -1, 1), а₃= (-3, 5, -6) иb= (4; -4; 5). Показать, что вектора а_l, а₂, а₃тоже образуют базис и выразить в этом базисе векторb.

Покажем, что вектора а_l, а₂, а₃линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:

Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами e_l, e₂, e₃и а_l, а₂, а₃можно выразить системой:

Вычислим А^-1.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. в базисе а_l, а₂, а₃векторb= (0,5; 2; -0,5).

2 Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве

Длиной (нормой) вектора 

vv

 в евклидовом пространстве 

EE

 называется число 

|v|=⟨v,v⟩−−−−−√|v|=⟨v,v⟩

.

Имея в виду обозначение, длину 

|v||v|

 называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: 

|o|=0|o|=0

.

Углом между ненулевыми векторами 

uu

 и 

vv

 евклидова пространства 

EE

 называется число

φ=arccos⟨u,v⟩|u|⋅|v|,φ=arccos⁡⟨u,v⟩|u|⋅|v|,

 то есть 

cosφ=⟨u,v⟩|u|⋅|v|cos⁡φ=⟨u,v⟩|u|⋅|v|

 и 

0⩽φ⩽π.0⩽φ⩽π.

Представив неравенство Коши-Буняковского (8.25) в виде 

∣∣⟨u,v⟩∣∣⩽|u|⋅|v||⟨u,v⟩|⩽|u|⋅|v|

 можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения 

⟨u,v⟩|u|⋅|v|⟨u,v⟩|u|⋅|v|

 не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или 

ππ

.

Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями .

Из неравенства Коши-Буняковского (8.25) следует неравенство треугольника:

∣∣|u|−|v|∣∣⩽|u+v|⩽|u|+|v|.||u|−|v||⩽|u+v|⩽|u|+|v|.

Докажем последнее неравенство. Применяя оценку 

⟨u,v⟩⩽|u|⋅|v|⟨u,v⟩⩽|u|⋅|v|

, получаем

|u+v|2=⟨u+v,u+v⟩=⟨u,u⟩+2⟨u,v⟩+⟨v,v⟩⩽|u|2+2⋅|u|⋅|v|+|v|2=(|u|+|v|)2.|u+v|2=⟨u+v,u+v⟩=⟨u,u⟩+2⟨u,v⟩+⟨v,v⟩⩽|u|2+2⋅|u|⋅|v|+|v|2=(|u|+|v|)2.

то есть 

|u+v|2⩽(|u|+|v|)2 ⇔ |u+v|⩽|u|+|v||u+v|2⩽(|u|+|v|)2 ⇔ |u+v|⩽|u|+|v|

.

Пример 8.17. Даны векторы евклидовых пространств:

а) 

x=(10), y=(01)x=(10), y=(01)

 — элементы пространства 

R2R2

 со скалярным произведением (8.27): 

⟨x,y⟩=x1y1+x2y2⟨x,y⟩=x1y1+x2y2

;

б) 

x=(10), y=(01)x=(10), y=(01)

 — элементы пространства 

R2R2

 со скалярным произведением (8.26):

⟨x,y⟩=xT(2111)y=2x1y1+x1y2+x2y1+x2y2.⟨x,y⟩=xT(2111)y=2x1y1+x1y2+x2y1+x2y2.

в) 

f(x)=sinx, g(x)=cosxf(x)=sin⁡x, g(x)=cos⁡x

 — элементы пространства 

C[−π,π]C[−π,π]

 со скалярным произведением (8.28): 

⟨f,g⟩=∫−ππf(x)g(x)dx⟨f,g⟩=∫−ππf(x)g(x)dx

.

г) 

p(x)=x2−2x+1, q(x)=x+2p(x)=x2−2x+1, q(x)=x+2

 — элементы пространства 

P2(R)P2(R)

 со скалярным произведением (8.29): 

⟨p,q⟩=a2b2+a1b1+a0b0⟨p,q⟩=a2b2+a1b1+a0b0

;

д) 

p(x)=x2−2x+1, q(x)=x+2p(x)=x2−2x+1, q(x)=x+2

 — элементы пространства 

P2(R)P2(R)

 со скалярным произведением (8.30):

⟨p,q⟩=p(1)⋅q(1)+p(2)⋅q(2)+p(3)⋅q(3).⟨p,q⟩=p(1)⋅q(1)+p(2)⋅q(2)+p(3)⋅q(3).

В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.

Решение. а) Находим скалярные произведения:

⟨x,x⟩⟨=1⋅1+0⋅0=1;x,y⟩=1⋅0+0⋅1=0;⟨y,y⟩=0⋅0+1⋅1=1.⟨x,x⟩⟨=1⋅1+0⋅0=1;x,y⟩=1⋅0+0⋅1=0;⟨y,y⟩=0⋅0+1⋅1=1.

Следовательно, 

|x|=1–√=1, |y|=1–√=1, φ=arccos01⋅1=arccos0=π2|x|=1=1, |y|=1=1, φ=arccos⁡01⋅1=arccos⁡0=π2

.

б) Находим скалярные произведения:

⟨x,x⟩⟨x,y⟩⟨y,y⟩=2⋅1⋅1+1⋅0+0⋅1+0⋅0=2;=2⋅1⋅0+1⋅1+0⋅0+0⋅1=1;=2⋅0⋅0+0⋅1+1⋅0+1⋅1=1.⟨x,x⟩=2⋅1⋅1+1⋅0+0⋅1+0⋅0=2;⟨x,y⟩=2⋅1⋅0+1⋅1+0⋅0+0⋅1=1;⟨y,y⟩=2⋅0⋅0+0⋅1+1⋅0+1⋅1=1.

Следовательно, 

|x|=2–√, |y|=1–√=1, φ=arccos12–√⋅1=arccos2–√2=π4|x|=2, |y|=1=1, φ=arccos⁡12⋅1=arccos⁡22=π4

.

в) Находим скалярные произведения:

⟨sinx,sinx⟩⟨sinx,cosx⟩⟨cosx,cosx⟩=∫−ππsin2xdx=12∫−ππ(1−cos2x)dx=12(x−12sin2x)∣∣∣π−π=π;=∫−ππsinxcosxdx=12∫−ππsin2xdx=−14cos2x∣∣∣π−π=0;=∫−ππcos2xdx=12∫−ππ(1+cos2x)dx=12(x+12sin2x)∣∣∣π−π=π.⟨sin⁡x,sin⁡x⟩=∫−ππsin2⁡xdx=12∫−ππ(1−cos⁡2x)dx=12(x−12sin⁡2x)|−ππ=π;⟨sin⁡x,cos⁡x⟩=∫−ππsin⁡xcos⁡xdx=12∫−ππsin⁡2xdx=−14cos⁡2x|−ππ=0;⟨cos⁡x,cos⁡x⟩=∫−ππcos2⁡xdx=12∫−ππ(1+cos⁡2x)dx=12(x+12sin⁡2x)|−ππ=π.

Следовательно, 

|sinx|=π−−√, |cosx|=π−−√, φ=arccos0π−−√⋅π−−√=π2|sin⁡x|=π, |cos⁡x|=π, φ=arccos⁡0π⋅π=π2

.

г) Находим скалярные произведения:

⟨p,p⟩=1⋅1+(−2)⋅(−2)+1⋅1=6;  ⟨p,q⟩=1⋅0+(−2)⋅1+1⋅2=0;  ⟨q,q⟩=0⋅0+1⋅1+2⋅2=5.⟨p,p⟩=1⋅1+(−2)⋅(−2)+1⋅1=6;  ⟨p,q⟩=1⋅0+(−2)⋅1+1⋅2=0;  ⟨q,q⟩=0⋅0+1⋅1+2⋅2=5.

Следовательно, 

|p|=6–√, |q|=5–√, φ=arccos06–√⋅5–√=π2|p|=6, |q|=5, φ=arccos⁡06⋅5=π2

.

д) Находим скалярные произведения:

⟨p,p⟩=0⋅0+1⋅1+4⋅4=17;  ⟨p,q⟩=0⋅3+1⋅4+4⋅5=24;  ⟨q,q⟩=3⋅3+4⋅4+5⋅5=50.⟨p,p⟩=0⋅0+1⋅1+4⋅4=17;  ⟨p,q⟩=0⋅3+1⋅4+4⋅5=24;  ⟨q,q⟩=3⋅3+4⋅4+5⋅5=50.

Следовательно, 

|p|=17−−√, |q|=50−−√=52–√, φ=arccos2417−−√⋅52–√=arccos24534−−√|p|=17, |q|=50=52, φ=arccos⁡2417⋅52=arccos⁡24534

.