19. Принцип действия и математическое моделирование посредством дифференциальных уравнений замкнутой системы автоматического регулирования частоты вращения двигателя.

(??????????????????????????????????????????????????????)

20. Общий вид дифференциального уравнения звена системы. Праметры, входящие в дифференциальное уравнения звена. Преобразования Лапласа. Цели преобразования уравнения к виду Лапласа.

Основной характеристикой любой динамической системы, наиболее полно отражающей ее свойства, является дифференциальное уравнение.

Процессы, описывающие линейную САУ, соответственно, будут описываться линейным дифференциальным уравнением.

Общий метод составления дифференциального уравнения системы: для каждого звена автоматической системы в соответствии с его теорией составляют дифф.ур. связывающее его выходную величину с входной. В результате получают систему уравнений, количество которых равно числу звеньев. Входные и выходные величины – основные, остальные промежуточные, которые из системы исключаются при ее решении.

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:

Так как все функции и их производные стоят в первой степени, для такого дифференциального уравнения выполняется принцип суперпозиции, следовательно, такая система линейна.

Дифференциальные уравнения сложны, для упрощения описания САУ и анализа их функционирования применяется преобразование Лапласа. Делаем мы это, чтобы получить передаточную функцию САУ

Передаточная функция системы – это отношение изображения по Лапласу выходной управляемой величины к изображению по Лапласу задающего воздействия.

Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу

.

Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов

(2)

Преобразуем уравнение (2) к следующему виду

(3)

Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов

(4)

Отношение (4) не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена ( ), имеет вид дробно-рациональной функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена

.

Уравнение вида

,

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.

• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.

• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.

• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

• Решение нестационарных задач математической физики