Решение

В цепи четыре независимых контура, следовательно обозначим четыре контурных тока: , , , и их положительные направления.

_Токи , , , протекают через источники тока соответственно. Следовательно: ; ; ;

В данной задаче необходимо определить один контурный ток , следовательно, составим только одно уравнение:

,

_Откуда .

_{Токи ветвей определим как алгебраическую сумму контурных токов:}

;

;

;

.

Правильность решения задачи проверим, составив уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 4 (контур обходим по часовой стрелке):

;

;

.

_{Второй закон Кирхгофа выполняется.}

Ответ: , , , .

Пример 3.2

Рис. 3.2

Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; . Определить токи в схеме рис. 3.2 методом контурных токов. Решение Выбираем направления контурных токов. Контурные токи и совпадают по направлению с токами источников и и равны им

соответственно: ; . Для решения задачи необходимо составить одно уравнение для неизвестного контурного тока :

.

Решив его, получаем:

.

_{Токи в ветвях схемы определяем как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через каждую ветвь:}

;

;

;

.

Ответ: , , , , , .

Метод узловых напряжений Основные теоретические положения

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разность потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

Положительное направление узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

(4.1)

где – количество узлов цепи, – количество идеальных источников Э.Д.С.

Для произвольной схемы, содержащей узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

(4.2)

где – собственная проводимость узла .

– взаимная проводимость ветви, соединяющей узлы .

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Выражение, стоящее в правой части уравнений системы, называют «узловой ток».

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений и источника тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если Э.Д.С. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «–».

Из системы (4.2) видно, что собственные проводимости входят в уравнения со знаком «+», а взаимные проводимости – со знаком «–».

Алгоритм расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1) Выбираем базисный узел. Желательно нулевой потенциал присвоить тому узлу, где сходится большее количество ветвей.

Запомнить! Если в составе цепи имеется одна или несколько ветвей, содержащих идеальные Э.Д.С. (сопротивление таких ветвей равно нулю), то за базисный принимают один из узлов, между которыми находится ветвь с идеальной Э.Д.С.

2) Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (4.2).

3) Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

4) Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

.

Частным случаем метода узловых напряжений является метод двух узлов. Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных Э.Д.С.) составляется только одно уравнение:

.