Свойства закона распределения Пуассона.

Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений пуассоновской случайной величины равна единице, т.е.

.

Доказательство. Найдем сумму ряда

. ●

Установим теперь теоретико-вероятностный смысл параметра  закона распределения Пуассона.

Свойство 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны между собой, причем имеют место равенства

.

22. Равномерный закон распред.

Определение. Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке  , если все ее возможные значения содержатся на этом отрезке и плотность распределения вероятности постоянна.

Из определения следует, что дифференциальная функция равномерно распределенной случайной величины имеет вид

23. Показательный закон распред.

Показательное распределение-непрерывное распределение вероятностей случайной величины X, задаваемое плотностью

Плотность р(х).зависит от положительного масштабного параметра l. Формула для моментов:  в частности - для математич. Ожидания , дисперсии

характеристич. функция: (1-it/l)-1.

П. р. входит в семейство распределений, называемых гамма-распределениями и задаваемых плотностью 

Определение. Непрерывная случайная величина  , плотность распределения которой задается формулой

называется показательной или экспоненциальной с параметром  .

График плотности вероятности  равномерно распределенной случайной величины изображен на рисунке 1

Рис. 1.

В большом числе случаев показательное распределение описывает время безотказной работы прибора, при этом число  интерпретируется как интенсивность отказа. Это распределение находит также широкое применение в демографии.

24. Нормальный закон.

Нормальное распределение,также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса: 

где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ — стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

Значение:

Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической статистике и статистической физике вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Свойства:

Моментами и абсолютными моментами случайной величины X называются математические ожидания Xp и  соответственно. Если математическое ожидание случайной величины μ = 0, то эти параметры называются центральными моментами. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых p.

Если  имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех с действительной частью больше −1. Для неотрицательных целых p, центральные моменты таковы

Здесь  означает двойной факториал, то есть произведение всех нечетных от n до 1.

Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы:

Последняя формула справедлива также для произвольных p > -1.

25, 26. Понятие системы случ вел. Ф совместного распред случ вел + теорема.