Геометрическое определение вероятности. Примеры.
Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности.
Полагают, что имеется область Ω и в ней область A. На Ω наудачу бросается точка. Событие А – попадание точки в область А.
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области Ω, т.е.
P(A)
= 
;
Область Ω может быть одномерной, двумерной, трехмерной и n-мерной.
Пример. В круг радиуса R=50 бросается точка. Найти вероятность ее попадания во вписанный в круг квадрат.
Решение. P(A)
= 
=
;
( R =
;
a =
)
Теорема сложения вероятностей. Несовместимые события.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример.
Испытания Бернулли. Теорема о числе успехов в n испытаниях.
Если
вероятность p наступления
события A в
каждом испытании постоянна, то
вероятность 
того,
что в n независимых
испытаниях событие A наступит m раз,
находится по формуле
Бернулли.
Испытания называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.
Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины.
Определение:
Функция, заданная в пространстве
элементарных событий Ω ={
}
Называется случайной величиной. Очевидно,
что значение случайной величины xi
наступает
с вероятностью pi,
равной вероятности наступления соотв.
События ωi.
Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. Пример. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25. При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.
Теорема о свойствах функции распределения случайной величины.
Понятие дискретной случ. Вел. Ряд и многоуг распр. Функции от дискр сл вел.
ДСВ-такая
сл вел, у которой мн-во возможных значений
счетно.
Теорема о свойствах ф распр дискр сл вел.
Понятие непрерывной сл вел. Плотность и Ф распр.
Непрерывные случайные величина- величина, принимающая континуальное множество значений на прямой (на отрезке,на полупрямой,на всей прямой и тд.)или значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.
Случайная величина непрерывна, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме возможных отдельных точек.НСВ делятся на два класса - абсолютно непрерывные и смешанные, обладающие свойствами как дискретных, так и непрерывных случайных величин.
Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины.
Плотность распределения f(x) равна производной от функции распределения F(x).
Cвойства:
Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е. f(x)≥0
Свойство
2. Функция распределения случайной
величины равна интегралу от плотности
в интервале от - ∞ до x. F(x)=P(-∞<X<x) = 
Свойство
3. Вероятность попадания непрерывной
случайной величины на участок равна
интегралу от плотности распределения,
взятому по этому участку.p(a≤x≤b)=F(b)-F(a)=
Свойство
4. Интеграл в бесконечных пределах от
плотности распределения равен единице.
Теорема о вероятности появления фиксированного значения непрерывной случайной величины.
Для любого малого x, P (X=x)=0
