1. Заменим импликацию

2. Заменим отрицание по правилу де Моргана

Данная формула представляет собой конъюнкцию, и к КНФ нужно приводить только отдельные формулы . Таким образом, необходимо доказать тождественную ложность данной формулы (противоречие) . Ложь может следовать только из-за лжи, а из истины ложь следовать не может (свойство импликации). Поэтому вывод пустой дизъюнкции из формул покажет, что они не совместимы друг с другом (то есть не могут быть верны все эти формулы одновременно). Но нам известно, что истины, то есть у нас имеется такое знание. И дополнительно мы доказали, что одновременно не может быть истиной, следовательно, невозможно чтобы было . не может быть истинно, а следовательно истинно .

Алгоритм построения вывода методом резолюций :

1. Привести формулу к виду .

2. Применить правило отрицания к исходной формуле .

3. Преобразовать формулу к виду .

4. Доказываем тождественную ложность данной формулы (противоречие) .

5. Привести все формулы к КНФ.

6. Составить множество дизъюнктов S формул .

7. Посредством применения правила резолюций к дизъюнктам, содержащим контрарные пары, ищем их резольвенты.

8. Процесс продолжается до тех пор, пока не получится пустой дизъюнкт #, либо не выведется два дизъюнкта представляющих собой контрарную пару литер (что тоже является #).

9. Если процесс заканчивается пустым дизъюнктом, то вывод обоснован.

Таким образом, если пустой дизъюнкт выводим из множества дизъюнктов S, то формула является логическим следствием формул . Если из множества дизъюнктов нельзя вывести #, то не является логическим следствием формул .

В процессе осуществления резолютивного вывода возможны следующие ситуации:

1. Среди множества дизъюнктов нет содержащих контрарные литеры. Это означает, что формула не выводима из множества формул .

2. В результате очередного применения правила резолюции получен пустой дизъюнкт. Это означает, что формула выводима из множества формул .

3. Процесс зацикливается, т. е. получаются все новые и новые резольвенты, среди которых нет пустых. Это ничего не означает.

При построении интеллектуальных систем основанных на методе резолюций решается алгоритмическая задача «Каким образом формировать резольвенты для быстрого получения контрарной пары и до каких пор формировать резольвенты?».

Преимущества и недостатки метода резолюций

1. Метод резолюций легко поддается алгоритмизации. Это позволяет использовать его в логических языках.

2. Недостатком этого метода является необходимость представления формул в КНФ.

3. Автоматическое доказательство теорем методом резолюций основано на переборе, который может быть настолько большим, что затраты времени на него практически неосуществимы.

4. В множестве дизъюнктов существует, как правило, не одна пара дизъюнктов, к которым можно применить правило резолюций.

5. Применение метода резолюций в доказательстве теорем и при планировании действий.

Пример. Доказать методом резолюций (истинность если известно, что истинны посылки ), что эквивалентно записи .

Доказательство методом резолюций основывается на доказательстве несовместимости отрицания исходной формулы.

1. Следовательно, применяется отрицание к исходной формуле , что после преобразования эквивалентно записи .

2. Приводим формулы к КНФ:

3. Опускается знак конъюнкции, и выписываются только дизъюнкты

4. К дизъюнктам применяется правило резолюций:

36. 4.1. Возьмем первые 2 дизъюнкта и сопоставим их к виду дизъюнктов правила резолюций :

37. 

38. Тогда, на основании правила резолюций следует, что . Видно, что получается тождественная единица, но она нам не сообщает дополнительной информации, так как она может следовать и изо лжи.

39. 4.2. Применим правило резолюций к другим парам дизъюнктов и получим следующее множество дизъюнктов:

Получив пустую дизъюнкцию, мы доказали, что формулы противоречивы. Таким образом, из следует истинность .

Видно, что получены пустые дизъюнкты. При этом они получены из различных комбинаций литер. Метод резолюций не дает полного алгоритма, каким образом выбирать пары дизъюнктов или как ускорить процесс получения пустого дизъюнкта. С целью оптимальной программной реализации метода разработаны различные стратегии перебора дизъюнктов.