2. Создание таблиц
Рассмотрим пример оформления очень простой задачи оптимизации, но с помощью его можно легко понять организации о построение таблицы для эффективности решений практический проблем оптимизации.
Имеем классическую задачу когда фирма производит два вида продукции (товар А и товар Б) по определенной цене, на их производство требуется 4 вида ресурсов (ресурс 1, ресурс 2, ресурс 3, ресурс 4), которые есть в наличие на фирме в определенном количестве (Запас), также имеется информация сколько нужно каждого ресурса на производство единицы продукции, соответственно товара А и товара Б. Нужно найти, то количество товара А и товара Б, которое максимизирует доход (выручку) (см. рис.).
Далее нам надо сделать взаимосвязи между ограничениями, планом и целевой функцией. Для этого мы строим дополнительный столбец (Использовано), в котором вводим формулу СУММПРОИЗВ(Норма; План). Норма – это затраты определенного ресурса на производство единицы продукции товара А и Б, а План – количество продукции, которое мы ищем. В ячейки Доход вводим формулу СУММПРОИЗВ(Цена; План). Таким образом мы заполнили формулами столбец Использовано и ячейку Доход. Так как план это переменные от которых зависит количество использованных ресурсов и доход, то ячейки с формулами напрямую зависят от данных, которые там появятся в результате поиска решений. С выше сказанного можно сделать следующие выводы, что каждая задача оптимизации обязательно должна иметь три компоненты:
неизвестные (что ищем, то есть, план);
ограничение на неизвестные (область поиска);
целевая функция (цель, для которой ищем экстремум).
3. Отчеты
По найденным результатам можно создавать отчеты. Такие отчеты полезны для сравнения влияния на решение различных ограничений или исходных данных. Потому они являются очень важными инструментом для анализа полученных результатов и последующего их улучшения в зависимости от возможностей и ресурсов предприятия.
Отчеты бывают трех типов: по результатам (Answer), по устойчивости (Sensitivity), по пределам (Limit).
Тип выбирается по окончании поиска решений в диалоговом окне Результаты поиска решений (Solver results) в списке Отчеты (Reports). Можна выбрать сразу два или три типа с помощью мыши при нажатой клавиши <Ctrl>. Каждый отчет будет создан на отдельном рабочем листе.
4. Нелинейные модели
На практике линейные модели скорее исключение, чем правило, потому что очень часто величины (цены, процентные ставки, тарифы), которые влияют на конечный результат, есть не пропорционально зависимыми от неизвестных (объемы товаров или инвестиций) и потому общий результат описывается нелинейным соотношением. Нелинейность – это довольно распространенная ситуация, ее вызывают сложные взаимоотношения между величинами, что характерно для технических, финансовых, биологических и других процессов. Потому нелинейность экономических задач существенно расширяет возможности учета существующих свойств и черт, хотя относительно их решения исследователи должны учитывать повышенную сложность получения желанного результата даже до невозможности его получения вообще.
Нелинейные модели классифицируют с позиции сложности получения глобального оптимуму – все зависит от функциональных особенностей целевой функции и ограничений. Все множество нелинейных задач оптимизации можно разделить на три классы соответственно к особенностям целевой функции и функции ограничений в порядке нарастания сложности:
І. Вогнутые и выпуклые задачи квадратичного программирования, где достигается глобальный оптимум.
ІІ. Вогнутые и выпуклые задачи выпуклого программирования, где достигается глобальный оптимум.
ІІІ. Задачи нелинейного программирования общего вида, где достигается локальный оптимум, среди которых ищут глобальный оптимум. В Excel для поиска оптимума нелинейной задачи используется улучшенный метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса итерационного типа, приспособленный известным математиком Л. Лесдоном для программы надстройки Excel Solver (Поиск решений).
Идея градиентного метода поиску экстремума функции (предложена в 1847 году Коши): выбирается начальная (стартовая) точка (начальное приближение у виде набора произвольных значений неизвестных) и вычисляется градиент (начальные производные целевой функции в диапазоне этой точки), который определяет шаг и направление движения в следующую точку для улучшения ЦФ. У следующих точках эта процедура повторяется, пока эти производные не станут нулевыми, что говорит о достижении экстремума.
Усовершенствование градиентных методов ставит за цель ускорения сходимости итерационного вычислительного процесса и базируется на учете особенностей функции.
Особенность программы-оптимизатора Поиск решений относительно нелинейных моделей – «Отчет по устойчивости» определяет теневые цены ограничений у виде множителей Лагранжа и, соответственно, отсутствие значения максимального допустимого увеличения ограничивающего параметра. Поскольку речь идет о нелинейных задачах оптимизации, при определении параметров модели оптимизации не нужно фиксировать режим «Линейная модель».