3. Матричні ігри двох осіб з нульовою сумою. Матриця гри. Верхня та нижня ціна гри. Теорема про мінімакс

Матрична гра двох осіб з нульовою сумою визначається наступним чином. Перший гравець (гравець A) має в свому розпорядженні m стратеґій , а другий (гравець B) — n стратегій .

Кожній парі стратеґій ставиться у відповідність число , що є виграшем гравця A за умови застосування ним своєї стратеґії та гравцем B своєї стратеґії , і одночасно програшем гравця B. Кожна з стратегій та називається чистою стратеґією. Матрична гра є антаґоністичною.

Наступним кроком після описання гри є визначення оптимальних стратегій та виграшів гравців. Для вибору оптимальною стратегії використовується принцип ґарантованого результату (принцип “максиміну”), тобто обирається така стратеґія, яка за найгірших умов забезпечить максимальний виграш.

Наступним кроком після описання гри є визначення оптимальних стратегій та виграшів гравців. Для вибору оптимальною стратегії використовується принцип ґарантованого результату (принцип “максиміну”), тобто обирається така стратеґія, яка за найгірших умов забезпечить максимальний виграш. При цьому вважається, що суперник буде робити найкращі свої ходи, тобто оптимальним чином (зі своєї точки зору) протидіяти. Надалі ми вважатимемо, що всі значення матриці виграшів є невід’ємними — це припущення не зменшує загальності, оскільки будь-яку матричну гру можна привести до цього вигляду не змінивши положення оптимуму (зміниться лише ціна гри).

Приклад. Нехай задана наступна матриця гри.

	B1	B2	B3	B4	B5
A1	3	4	5	2	3
A2	1	8	4	3	4
A3	10	3	1	7	6
A4	4	5	3	4	8
	=10	=8	=5	=7	=8

Виникає запитання: якою стратегією скористатися гравцям?

Якщо гравець A обере стратегію A₃, сподіваючись на виграш в 10 одиниць, то гравець В може обрати стратегію B₃, і виграш гравця A становитиме лише 1 одиницю. Відповідь на це запитання, за умови повної відкритості гри, дає принцип максиміну: необхідно діяти таким чином, щоб мінімальний ґарантований виграш був максимальним, тобто дорівнював (для прикладу , і гравцеві A потрібно би було обрати стратеґію A₄). При цьому гравець В прагнутиме не дати гравцеві A отримати максимальний виграш, оскільки це для нього програш, і в свою чергу у відповідь він обиратиме свою стратегію, якій відповідатиме (для прикладу =5). Таким чином за умови максимально обережної гри з обох боків та застосування чистих стратеґій гравець A виграє 3 одиниці, а гравець B програє не більше 5-ти.

Однак, якщо гравець A знатиме, що В обрав стратеґію В₃, то в нього виникне бажання збільшити свій виграш, обравши стратеґію A₁. У відповідь гравець В прагнутиме обирати B₄, і т. д. (A₄B₃A₁B₄A₃B₃).

Таким чином, гра в чистих стратегіях виявляється нестійкою.

Число , визначене як , називається нижньою ціною гри і показує, який виграш може гарантувати собі гравець A за умови застосування своїх чистих стратегій та всіх можливих дій гравця B.

Гравець B в свою чергу прагне максимально зменшити значення свого програшу шляхом вибору своїх чистих стратегій. Число , визначене як , є верхньою ціною гри і показує, який мінімальний програш може гарантувати собі гравець B.

Приклад. Задана матриця гри. Визначити верхню та нижню ціну гри.

	B1	B2	B3	B4
A1	2	4	7	5
A2	7	6	8	7
A3	5	3	4	1
	=7	=6	=8	=7

Значення верхньої та нижньої ціни гри рівні між собою — . В цьому випадку ні одному з гравців невигідно відхилятися від своїх стратеґій, і отримуємо таким чином точку рівноваги.

Якщо в грі з матрицею А нижня та верхня чисті ціни гри рівні між собою, то гра має сідлову точку в чистих стратеґіях і чисту ціну гри . Поняття сідлової точки відображає наступну ситуацію: якщо один з гравців притримується стратеґії, що відповідає сідловій точці, то інший гравець не може діяти краще, як притримуватися своєї стратегії, яка також відповідає сідловій точці.

Таким чином для сідлової точки справедливе співвідношення , де A_i та B_j — довільні чисті стратеґії гравців А та В відповідно, А_i0, B_j0 — стратеґії, що утворюють сідлову точку.

Пара чистих стратеґій, А_i0, B_j0, що утворюють сідлову точку, та сідловий елемент матриці називаються розв’язком гри в чистих стратеґіях. Основні теоретичні результати даються наступними теоремами про сідлову точку.

Теорема 1. (Теорема про верхню та нижню ціну гри). Нехай — дійсна функція двох змінних та і існують , . В цьому випадку .

Доведення.

За визначенням максимуму та мінімуму , тобто .

Оскільки в лівій частині останньої нерівності значення довільне, то . Аналоґічно, в правій частині цієї нерівності значення довільне, і тому , тобто 

Матриця антаґоністичної гри двох осіб є частковим випадком , де .

Визначення. Нехай — дійсна функція двох змінних , . Точка називається сідловою для функції , якщо для довільних , виконується нерівність .

Теорема 2. (Теорема про сідлову точку).

Нехай для дійсної функції , , існують та . Якщо , то необхідною і достатньою умовою цього є існування сідлової точки функції , тобто такої, що .

Якщо — сідлова точка функції , то .

Доведення.

Достатність.

Нехай існує сідлова точка , тоді за визначенням справедливе співвідношення , тобто для довільних , справедливі нерівності .

За визначенням максимуму та мінімуму функції та .

Порівнюючи наведені нерівності, отримуємо .

З іншого боку, за попередньою теоремою справедливе співвідношення , що сумісно можливо лише у випадку, коли . Таким чином достатність доведена.

Необхідність.

Нехай справедлива рівність . В цьому випадку існують такі , , що

, .

Покажемо, що — сідлова точка.

Зі співвідношення витікає, що .

За визначенням мінімуму , і враховуючи вищенаведене отримаємо . За визначенням максимуму з останнього отримаємо . Аналоґічно доводиться, що . З того, що випливає справедливість рівності



Якщо покласти , то цим доведено справедливість співвідношення для визначення сідлової точки антаґоністичної матричної гри.