2. Обзор курса

Обзор делается на основе оглавления книги. Примерно 14 занятий = 4 месяца х 4 занятия в месяц. Кратко характеризуются все пункты (главы (их 5) и параграфы (их 16)) курса. Теоретическая часть. Что будет на лабораторных занятиях.

Название курса определяет достаточно большую область прикладной математики. Широкую по охвату тем, богатую теоретическими методами и алгоритмами и имеющую большое практическое применение. Основные темы курса «Теория и методы оптимизации» хорошо отражены в книге Пантелеева и Летовой, на которой построен курс: и лекции и лабораторные работы (практические занятия). Скорее всего, наш курс сможет охватить только эти разделы, относящиеся к классическим основным методам:

• Глава 1 – необходимые и достаточные условия экстремума в простейшем случае гладких (дифференцируемых) функций;

• Глава 2, § 5.1 – численные методы безусловной одномерной оптимизации;

• Глава 2, §§ 4, 5.2-5.6, 6, 7 – численные методы безусловной многомерной (векторной) оптимизации;

• Глава 3 – численные методы поиска условного экстремума;

• Глава 4 – задачи линейного программирования;

• Глава 5 – задачи вариационного исчисления.

Как дальнейшее развитие темы примерно после 1940 года возникли следующие разделы, вызванные к жизни сложнейшими практическими задачами в технике и экономике.

Нелинейное программирование является естественным, но абсолютно нетривиальным обобщением линейного программирования. Эта тематика имеет и другие названия: экстремальные задачи, выпуклое программирование. Первоначально линейное программирование было создано Канторовичем для решения сложных экономических задач планирования. Методы нелинейного программирования применяются для намного большего класса задач как в фундаментальных научных исследованиях и инженерном деле, так и в экономике – на них построена вся современная теория планирования балансов предприятий и целых стран.

Теория управления или оптимального управления. Возникла как обобщение вариационного исчисления для решения задач управления движением в воздушном пространстве и космосе. В настоящее время применяется в сложных случаях при решениях сложных задач во многих отраслях техники и гуманитарных областях.

Внутри этих теорий были созданы такие подразделы, как теория игр, дифференциальные игры, многоэкстремальные задачи.

Была построена абстрактная теоретическая база методов оптимизации, охватывающая и обобщающая многие похожие задачи и случаи, на основе теории нормированных пространств и методов функционального анализа.

Мы до этого всего, из-за ограниченного времени курса (1 семестр) почти наверняка не дойдём и изучать не будем. Я решил лучше сосредоточиться на аккуратном изучении основ, чем на поверхностном ознакомлении с многочисленными темами и подтемами этой науки. Кроме того, акцент будет сделан на практические навыки решения задач, а не на их теоретическом обосновании. Хотя бы удовлетворительное владение этими навыками будет крайне полезно при решении практически любой научно-технической или инженерной задачи.

Лекции будут читаться по тексту книги на компьютере, лабораторные (или практические) работы также будут основаны на задачах из книги и будут состоять из 2-х или 3-х разделов (пока не знаю, будет ли третий раздел):

• аналитическое решение в тетради задач к разделам книги – там, где возможно разумное аналитическое решение, в основном это – одномерный случай (20-30 задач): задачи стр. 21 (все 8), задачи стр. 33 (все 10), задачи стр. 96 (5-6 штук);

• написание программ на Matlab (примерно 5 штук), реализующие векторные методы безусловной и условной оптимизации;

• написание программы на Matlab, решающей реальную несложную задачу методами глав 4 и 5 (если останется время).

Результаты лабораторных работ будут обеспечивать получение зачёта. Для получения стандартного задания необходимо посетить 50% занятий. В случае нарушения этого условия, для получения зачёта надо будет выполнить задание большее по объёму или сложности в 2-3 раза.

Экзамена не будет, если не поменяли с прошлого года.