Лабораторная работа № 3 «Сравнительный анализ дискретного косинусного и дискретного Вейвлет преобразований изображений»
Целью работы является заложение основ у студентов в понимании принципов компрессии, декомпрессии двумерного изображения, а также демонстрация возможностей Дискретного Косинусного и Дискретного Вейвлет преобразований изображений.
Предполагается изучение таких понятий как:
-алгоритм Вейвлет-преобразования
-возможности Вейвлет-преобразования при изменении числа уровней глубины преобразования
-возможности Вейвлет-преобразования при изменении числа бит квантования коэффициентов уровней разложения
-алгоритм дискретного косинусного преобразования
Преобразование Фурье
Г
лавной
математической основой спектрального
анализа является преобразование
Фурье, которое связывает
пространственный или временной сигнал
(либо некоторую модель этого сигнала)
с его представлением в частотной области.
Преобразование Фурье функции
f является интегральным представлением
и задается следующей формулой:
Но
преобразование Фурье дает информацию
только про частоту, которая присутствует
в сигнале и не дает никакой информации
про то, в какой промежуток времени эта
частота присутствует в сигнале.
Таким
образом, для следующего стационарного
сигнала:
Рис. 3.1.Стационарный сигнал Рис. 3.2 Преобразование Фурье
А
для не стационарного сигнала:
Рис. 3.3.Нестационарный сигнал Рис. 3.4.Фурье-образ Таким образом, для двух абсолютно разных сигналов мы получаем почти одинаковые преобразования Фурье (неплавность графика преобразования Фурье для второго сигнала объясняется внезапной сменой частоты в этом сигнале, а разница в амплитуде разных частот объясняется тем, что эти частоты действовали на протяжении разного времени на рассматриваемом отрезке сигнала). Следовательно, преобразование Фурье по своей сути не может отличить стационарный сигнал от нестационарного, что является большой проблемой для его применимости.
Оконное преобразование Фурье
Д
ругим
инструментом спектрального анализа
является оконное
преобразование Фурье,
которое является разновидностью
преобразования Фурье и определяется
следующим образом:
где
W(τ-t) — некоторая оконная функция.
Обычно
в качестве оконной функции используется
гауссиан, окно Хемминга, окно Ханна или
окно Кайзера.
Оконное преобразования
Фурье, в отличие от обычного преобразования
Фурье, уже является функцией от времени,
частоты и амплитуды. То есть она позволяет
получать характеристику распределения
частоты сигнала (с амплитудой) во
времени.
Рассмотрим следующий
нестационарный сигнал:
Рис. 3.5.
Э
тот
сигнал является стационарным каждые
250мс (на первом отрезке длинной 250мс он
имеет частоту 300Гц, на втором — 200Гц, на
третьем — 100Гц и на четвертом —
50Гц).
Трехмерный (время, частота и
амплитуда) график оконного преобразования
Фурье будет иметь следующий вид:
Рис. 3.6. График оконного преобразования Фурье
Симметричность графика объясняется тем, что преобразования Фурье (в том числе и оконное преобразования Фурье) являются симметричными для любого сигнала На этом графике можно увидеть четыре ярко выраженных максимума, которые соответствуют частотам, присутствующим в сигнале. Самым важным является то, что в отличие от обычного преобразования Фурье мы получаем значения частот относительно оси времени, то есть получаем частотно-временную характеристику сигнала. Но главной проблемой в использовании оконного преобразования Фурье для получения частотно-временной характеристики сигнала является так называемый принцип неопределенности Гейзенберга, который возникает для параметров времени и частоты сигнала. В основе принципа неопределенности лежит тот факт, что невозможно сказать точно какая частота присутствует в сигнале в данный момент времени (можно говорить только про диапазон частот) и не возможно сказать в какой точно момент времени частота присутствует в сигнале (можно говорить лишь про период времени). В связи с этим возникает проблема разрешающей способности. Разрешающую способность оконного преобразования Фурье можно регулировать с помощью ширины окна. Оконное преобразования Фурье с узким окном в форме Гауссиана с масштабом (обратная величина к ширине окна) 0.01 будет иметь следующий вид:
Рис. 3.7. Оконное преобразование Фурье с узким окном в форме Гауссиана
К
ак
видно, полученное преобразование Фурье
имеет хорошую точность относительно
времени и плохую точностью относительно
частоты (каждый максимум занимает
некоторый диапазон частот).
При
использовании более широкого окна в
форме Гаусианна с масштабом 0.00001 оконное
преобразование будет иметь вид:
Рис. 3.8. Оконное преобразование Фурье с широким окном в форме Гауссиана
Видно, что в данном случае получается высокая точность относительно частоты, но при этом очень низкая точность относительно времени. Можно считать, что обычное преобразование Фурье является оконным преобразованием Фурье с окном шириной в бесконечность. Таким образом, при увеличении ширины окна (уменьшении его разрешающей способности) мы увеличиваем точность относительно частоты и уменьшаем точность относительно времени. [1,2]