Лабораторные работы / Лаба5

Московский Энергетический Институт (Технический Университет)

Лабораторная работа №5

Тема: Решение систем нелинейных уравнений..

Вариант 8

Задача №3

Выполнил Крыгин Михаил

группа А-14-06

Москва, 2008

Задача 5.3.8

Постановка задачи: Для системы уравнений из задачи 5.1 найти решение по методу простой итерации с той же точностью . Для этого составить программу вычисления решения с заданной точностью. В программе предусмотреть подсчет количества итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности. Сравнить скорости сходимости методов. Достаточное условие сходимости метода проверить в норме .

Заданная система уравнений имеет следующий вид:

5.1.8

Основное решение: Разрешим оба уравнения относительно переменной х2:

и построим их графики с целью локализации корня:

Начальное приближение:

В методе простой итерации исходная система:

F1(x1,x2…xn)=0

F2(x1,x2…xn)=0

………………...

Fn(x1,x2…xn)=0

Преобразуется к системе вида:

x1=φ1(x1,x2,…xn)

x2=φ2(x1,x2,…xn)

…………………

xn=φn(x1,x2,…xn)

И для метода простой итерации справедлива расчетная формула:

Х^(к+1)= φ(Х^(к)), где Х^(к) есть вектор к-го приближения, а φ – вектор-функция.

Преобразуем нашу исходную систему к виду, удобному для итерации:

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является то, что норма матрицы Якоби в точке начального приближения будет меньше единицы. Матрица Якоби – матрица, состоящая из производных функций по всем аргументам.

Составим матрицу Якоби:

Посчитаем бесконечную норму этой матрицы, взятой в начальном приближении

Достаточное условие сходимости выполнено.

Критерий окончания метода простой итерации:

Здесь q0 – норма матрицы Якоби, взятая в начальном приближении.

Рассчитаем требуемую точность и обозначим её за ε1:

Напишем функцию, для метода простой итерации:

Применим функцию с найденным ранее начальным приближением:

Итак, метод сошелся с заданной точностью за 21у итерацию.