МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Курсовая работа.
Автоколебания в химических реакциях.
Численные методы.
Выполнил:
студент группы А-13-08
кафедры ПМ
Захаров Антон
Преподаватель:
Вестфальский
Алексей Евгеньевич
Москва, 2011 г.
-
Постановка задачи.
Автоколебания в химических реакциях.
Модель Лефевра – Николиса описывает колебательные процессы в следующей цепочке химических реакций:
Предполагается, что концентрации веществ A, B, D, E остаются постоянными и все реакции необратимы. Тогда изменение концентрации x и y реагентов X и Y будет описываться следующей системой ОДУ:
Здесь a и b – концентрации исходных веществ A и B соответственно.
-
Вывести расчётные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности с параметрами
.
-
С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов.
-
Вывести графики зависимости решения
и
,
а
также фазовый портрет (в переменных x,
y).
Также обозначить на графиках стационарное
решение (особые точки).
-
Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.
-
Вывод расчётных формул.
Выведем
расчётные формулы метода Рунге-Кутты
3-го порядка точности с параметрами
.
Введём
на отрезке
три
вспомогательных узла:
Заметим,
что
,
так как
и
,
так как
.
Заменим,
входящий в равенство
интеграл квадратурной суммой с узлами
:
Нам
неизвестны значения
и
.
Чтобы найти их запишем равенства:
Ещё раз заменяем интегралы квадратурными суммами:
Пусть
–
приближение
к значению углового коэффициента в
точке
,
тогда
Расчётные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности:
Найдём значения параметров, при которых порядок аппроксимации будет максимальным. Запишем формулы метода в виде:
Параметрами
этого метода являются величины
Представим
погрешность аппроксимации:
(где
– решение
дифференциального уравнения
)
в виде разложения по степеням h.
Формула Тейлора:
с учётом равенств
даёт формулу
Представим
значения функций
,
используя формулу Тейлора для функции
двух переменных с центром в точке
:
Таким образом,
Если потребовать, чтобы выполнялись условия:
то первые слагаемые в формуле обратятся в нуль, и поэтому метод будет иметь третий порядок аппроксимации.
-
Тестовые примеры.
Пример 1.
Воспользуемся
системой MathCAD
для
численного решения задачи, при начальных
концентрация веществ
.
Результаты работы программы (приложение к курсовой работе):
Пример 2.
В
данном примере рассмотрим состояние
равновесия
,
отвечающее стационарному протеканию
химической реакции, когда концентрации
реагирующих веществ постоянны.
Результаты работы программы (приложение к курсовой работе):
