1.6. Максимальные касательные напряжения

Теорема о максимальных касательных напряжениях формулируется следующим образом: через любую точку тела можно провести шесть попарно перпендикулярных площадок, на которых будут действовать максимальные касательные напряжения, равные полуразностям соответствующих главных напряжений. Эти площадки наклонены под углами 45^о к главным площадкам (рис. 1.7), и на них действуют, кроме касательных, еще и нормальные напряжения, равные полусуммам соответствующих главных напряжений.

Рис.1.7. Три пары площадок с максимальными касательными напряжениями

₁ (а), ₂ (б), ₃ (в)

Можно показать, что в сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями и проходя­щих соответственно через главные оси 1, 2, 3 касательные напряжения по абсолютной величине равны

Касательные напряжения в этих сечениях достигают экстремаль­ных значений и называются главными касательными напряжениями. Определим последние формулами:

(1.25)

С изменением ориентации площадки изменяется и величина дей­ствующего на площадке касательного напряжения _п. Наибольшее значение _п в данной точке называется максимальным касательным напряжением _mах.

Нетрудно определить по формуле (1.12), что нормальные напряже­ния на площадках, на которых действуют главные касательные напряжения (1.25), равны соответственно полусуммам

(1.26)

1.7. Девиатор напряжения

Так как материалы обладают, как правило, различными механическими свойствами по отношению к сдви­гу и равномерному всестороннему сжатию, выгодно представить тензор напряжения в виде суммы ¹

, (1.27)

где —шаровой тензор, соответствующий среднему давлению в точке, а

(1.28)

— тензор, характеризующий касательные напряжения в данной точке и называемый девиатором напряжения.

Нормальные составляющие последнего (т. е. _x-, _y-, _z- будем иногда обозначать через s_x, s_y, s_z. Главные направления, девиатора напряжения D_, и тензора напряжения Т_ совпадают, а главные значения s_i отличаются от _i на величину среднего давления и определяются, очевидно, кубическим уравнением

(1.29)

все корни которого также вещественны.

Инварианты девиатора легко получить из (1.9), если заменить ₁, ₂, ₃ соответственно на s_1, s₂, s₃:

(1.30)

Очевидно, что девиатор напряжения характеризуется лишь пятью независимыми величинами. Неотрицательную величину

(1.31)

называют интенсивностью касательных напряжений^.

Интенсивность касательных напряжений обращается в нуль только в том случае, когда напряженное состояние является состоянием гидростатического давления.

Для чистого сдвига

где  — напряжение сдвига. Следовательно,

Т = .

В случае простого растяжения (сжатия) в направлении оси х

тогда

Как уже указывалось,

Отсюда вытекает неравенство, установленное иным путем А. А. Ильюшиным:

2 Основы теории деформации

2.1 Составляющие перемещения и деформации. Зависимость между ними

Исследуем деформацию упругого тела. Для ее определения необхо­димо сравнить положение точек тела до и после приложения нагруз­ки. На рис. 10 показаны тело и точка А с координатами х, у, z. Под дей­ствием нагрузки точка А переместится в новое положение А' с координатами х', у', z', Вектор АA' на­зывается вектором перемещения точки А.

Различают два вида перемеще­ний: перемещение всего тела как единого целого без его деформиро­вания и перемещение, связанное с деформированием тела. Перемеще­ния первого вида изучаются в тео­ретической механике как переме­щения абсолютно твердого тела. В теории упругости рассматри­ваются только перемещения, свя­занные с деформированием тела.

Будем считать, что рассматриваемое тело закреплено так, чтобы оно не могло перемещаться как абсолютно твердое тело. Обозначим проекции вектора перемещения точки А на координатные оси через u, v, w, Они равны разности соответствующих координат точек А и А'

и = х' - x; v = у' - у; w = z' - z

и являются функциями координат;

и = и (х, у, z); v = v (х, у, z)\ w = w (x, у, z).

Разница в значениях перемещений различных точек тела вызывает его деформирование. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, вырезанный из упругого тела около произвольной точки .4, вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначаль­но прямые углы между гранями.

Рис. 2.1

На рис. И изображены два ребра этого параллелепипеда: ребро АВ, параллельное оси х. и ребро АС, параллельное оси z. Длина ребра АВ равна dx, ребра АС — dz. После деформирования точки A, B и С займут новые положения: А', В', С'. При этом точка А получит пере­мещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и и w. Точка В, отстоящая от точ­ки A на бесконечно малом расстоянии dx, получит пе­ремещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих переме­щения точки А на беско­нечно малую величину за счет изменения координа­ты х:

Составляющие переме­щения точки С будут отличаться от составляющих перемещения точки А на бесконечно малую величину за счет изменения координаты z:

Длина проекции ребра AB на ось х после деформирования

_(2.1)

Проекция абсолютного удлинения ребра А В на ось х

Относительное удлинение вдоль оси х

_(а)

называется линейной деформацией по направлению оси х.

Аналогично получим линейные деформации по направлениям коор­динатных осей у и z:

_(б)

Итак, линейная деформация по любому направлению равна част­ной производной составляющей перемещения в этом направлении по переменной в том же направлении.

Рассмотрим изменения углов между ребрами параллелепипеда (рис. 11). Тангенс угла поворота ребра А В в плоскости xOz

Ограничиваясь рассмотрением только малых деформаций, можно положить tg ₁ а₁ и пренебречь линейной деформацией _x ввиду малости по сравнению с единицей. Тогда

Аналогично находим угол поворота ребра АС в той же плоскости:

_(2.2)

Угол сдвига в плоскости xOz_y т. е. искажение прямого угла ВАС, называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер АВ и АС:

_zx= а₁+ а₂=w/x+u/z.(а)

Аналогично найдем угловые деформации в двух других координат­ных плоскостях:

_xy= u/y - v/x; _yz= v/z + w/z.(б)

Итак, угловая деформация в любой плоскости равна сумме частных производных составляющих перемещения в этой плоскости по пере­менным в перпендикулярных направлениях.

Формулы (а), (б), (в) и (г) дают шесть основных зависимостей составляющих линейных и угловых деформаций от составляющих пере метения:

_(2.3)

Эти геометрические соотношения были выведены Коши и иногда называются уравнениями Коши.

В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, формулы (2.3) определяют линейные и угловые деформации в окрест­ности точки А.

Правило знаков для составляющих деформации.

1. Положительным линейным деформациям отвечают удлинения по соответствующим направлениям, а отрицательным — укорочения.

2. Положительным угловым деформациям соответствует уменьше­ние углов между положительными направлениями координатных осей, а отрицательным — увеличение тех же углов.