Основные законы логики

Учение о четырёх основных законах логики принадлежит великому математику и философу Г. В. Лейбницу (1646–1716). Впрочем, формулировки, относящиеся к трём из этих законов присутствуют уже в работах Аристотеля.

Приведём с некоторыми комментариями фрагменты работы Лейбница «Об основных аксиомах познания»¹ (около 1690 г.).

Лейбниц начинает с того, что всякое знание, в конечном счёте, основывается на некоторых положениях, принимаемых без доказательств. Примером служит, геометрия:

… в доказательствах невозможно идти до бесконечности, то кое-что следует принять без доказательства, не умолчав при этом, как то обычно делают философы, о некоторой уловке, прикрывающей недостаточность [наших знаний], но точно указав, какими как бы главными утверждениями мы пользуемся, по примеру геометров, которые, чтобы засвидетельствовать свою добросовестность, с самого начала открыто заявляют, какими принятыми аксиомами они будут пользоваться, чтобы все знали, что выводы, по крайней мере сделанные на основе этих положений, гипотетичны.

Затем, в качестве первого принципа вводится закон исключённого третьего:

Прежде всего я принимаю, что всякое высказывание (т. е. утверждение или отрицание) бывает либо истинным, либо ложным; при этом если истинным будет утверждение, то ложным будет отрицание; если истинным будет отрицание, то ложным будет утверждение.

В логической традиции закон исключённого третьего часто приводят в его латинской формулировке: «tertium non datur» или «третьего не дано», понимая под «третьим» какое-либо иное возможное значение высказывания кроме истины или лжи. Логическая система, в которой действует закон исключённого третьего, называется двузначной, т. к. она допускает только два указанных значения истинности.

Лейбниц распространяет действие закона исключённого третьего не только на значение истинности высказываний, но и на утверждение и отрицание:

Если что-то отрицается как истинное, то (очевидно) оно является ложным; а если что-то отрицается как ложное, то оно является истинным. Если что-то отрицается как утверждение или утверждается как отрицание, то оно отрицается; если что-то утверждается как утверждение и отрицается как отрицание, то оно утверждается.

Утверждение и отрицание ­­­­– это особые действия, в ходе которых автор высказывания так или иначе даёт понять слушателю (читателю), что считает высказывание истинным или ложным.

А вот формулировка Лейбница для закона противоречия:

Подобным же образом если истинно то, что нечто ложно, или ложно то, что нечто истинно, то утверждение является ложным; а если истинно то, что нечто истинно, и ложно то, что нечто ложно, то оно является истинным. Все это обычно выражается одним названием: принцип противоречия (principium contradiclionis).

Сравним с формулировками Аристотеля: « … невозможно, чтобы противоречащее одно другому было вместе истинным в отношении одного и того же …» и «… невозможно одно и то же правильно утверждать и отрицать в одно и то же время …», откуда следует, в частности, что « … невозможно также, чтобы противоположности были в одно и то же время присущи одному и тому же …».² Иными словами, закон противоречия говорит, что невозможно одновременно утверждать и отрицать одно и то же.

Третьим принципом, который вводит Лейбниц, является закон тождества:

… среди истинных предложений первыми являются те, которые обычно называют тождественными, как «А есть А», «Не А есть не А», «Если истинно предложение L, то, следовательно, истинно предложение L». И хотя кажется, что в этих высказываниях имеется бесполезное повторение, однако из них при незначительном изменении получаются полезные аксиомы. Так, из того, что А есть А или что трехфутовое есть трехфутовое, очевидно, что всякая вещь в данный момент такова по величине, какова она есть, т. е. равна себе самой.

Бесспорно, что тождественные предложения являются первыми из всех и не допускают никакого доказательства, будучи тем самым истинными сами по себе …

Последний – четвёртый – закон логики называется законом достаточного основания. Согласно этому закону, ничто не происходит без причины, в частности, никакое высказывание не может быть признано истинным без соответствующего обоснования. Многие не считают его в полном смысле логическим, но скорее общефилософским. Посмотрим, как его описывает Лейбниц:

... ничто не случается без причины, т. е. ничего не бывает без основания. Однако это основание, каким бы оно ни было твердым (пусть оно и было бы достаточным для склонения в какую-либо сторону), даже если бы оно и создало уверенность в предвидящем (praesciens), все же не полагает в вещи необходимости и не уничтожает случайности, так как противоположное все же остается возможным само по себе и не содержит в себе никакого противоречия; иначе то, что мы взяли как случайное, будет скорее необходимым, т. е. вечно истинным.

А эта аксиома, что ничего не бывает без основания, должна считаться одной из самых важных и плодотворных аксиом во всем человеческом познании; на ней основывается большая часть метафизики, физики и нравственного учения, и без нее нельзя ни доказать существование Бога из творений, ни построить доказательство от причин к следствиям или от следствий к причинам, ни сделать какие-либо выводы в делах гражданских. Так что все, что не относится к математической необходимости (к формам логики и истинам чисел), должно вообще проистекать из нее.

Основные законы логики, по мысли Лейбница, являются принципами, которые человеческий разум принимает как очевидно истинные на основании их анализа. Как таковые они лежат в основе любого познания и характеризуют фундаментальные черты разума. В современной логике можно встретить системы, использующие более, чем два значения – такие системы называют многозначными. Например, трёхзначная логика может использовать значения «истина», «ложь» и «неопределённость», но в ней будет действовать закон, подобный закону исключённого третьего, – закон исключённого четвёртого. Законы тождества и противоречия неотменимы для любой системы рассужений, которую мы готовы признать разумной.