Завдання № 11 Параметри вимушених коливань у системах з демпфіруванням

Комбінована підвіска корпуса авто масою m має комплект пружин з жорсткістю c та дросельні циліндри з в’язким мастилом, що мають cумарний коефіцієнт в’язкого опору рухові k. На корпус діє періодична зовнішня сила F = Аsint . Знайти: 1) амплітуду A_ вимушених коливань корпусу авто. 2) Знайти граничне значення коефіцієнта в’язкості мастила з умови, щоб максимальна амплітуда коливань корпуса при резонансі не перевищувала А*. 3) знайти відношення максимальних амплітуд вимушених коливань кузова авто при +30 і – 20; це ж відношення при резонансі, якщо в’язкість k = 20 нс/м відповідає +30 С. (Урахувати, що при зменшенні температури у атмосфері на 50 (від +30 до – 20) коефіцієнт в’язкості мастила збільшується у 3 рази).

Числові дані: m = 450 кг, c = 46000 н/м, k = 20 нс/м, А = 1300 н,  = 9 с^-1, А*= 0,22 м.

Розв’язування:

1). Випишемо формулу для амплітуди А_ вимушених коливань маси m у випадку наявності в’язких сил демпфірування [1]

(1) Обрахуємо допоміжні параметри

і ₀ = 10,11 с^-1 - частота власних коливань і ₀  - резонанс відсутній.

.

Підставляємо усі параметри у формулу (1) і маємо:

(2)

2). З умови резонансу покладемо у формулі (1) ₀ =  та А = А* і отримаємо параметри в’язкості

, та ₍₃₎

(4)

_{Як бачимо, амплітуда (2) за умови відсутності резонансу (0  ) є меншою за допустиму резонансну амплітуду А*, але щоб виконати умову для неї, необхідно дещо збільшити в’язкість мастила у дросельних циліндрах.}

3). Застосуємо формулу (1) для амплітуд вимушених коливань за двох

значень параметра в’язкості n i 3n за попередніх значень частот ₀ = 10,11 с^-1 і  = 9 с^-1.

Для n = 0,0222 маємо величину (2), обчислену вище:

Аналогічно для n = 0,0666

і відношення А1/ А3 = 1,015. (5) Покладемо у формулі (1) з умови резонансу 0 =  і обчислимо амплітуди

₍₆₎ звідки отримаємо відношення

(7)

Як бачимо, за відсутності резонансу навіть суттєва зміна в’язкості середовища мало впливає на амплітуди вимушених коливань – відношення (5) близьке до 1. За умови резонансу це відношення значно зростає - (7) - і дорівнює відношенню коефіцієнтів в’язкості. Але самі резонансні амплітуди є нереально великими, - отже треба завжди конструктивними засобами позбуватися роботи машин у резонансних режимах.

Завдання № 12 Коливання системи з двома степенями вільності

_{Маятникова система з пружиною складається з повзуна масою М, який ковзає без тертя по горизонтальній площині, і кулі масою m, яка прикріплена до повзуна стержнем, що має довжину l і масу m1 (рис. 11). Стержень у точці кріплення С має шарнір і може вільно повертатися навколо нього. Повзун приєднано до стояка пружиною з жорсткістю с. Скласти рівняння руху системи за методом Лагранжа і визначити частоти власних коливань системи.}

_{Числовий приклад: M = 10 кг, m = 5 кг, m1 = 6 кг, c = 1200 н/м, l = 1 м.}

_{Розв’язування:}

_{Система має очевидне положення рівноваги, коли пружина не стиснена, а маятник висить вертикально. Система має 2 ступеня вільності, їм відповідають 2 узагальнені координати : q1 = x - горизональне переміщення повзуна; q2 =  - кут повороту маятника відносно вертикалі. Для складання рівнянь руху системи скористаємось рівняннями Лагранжа для консервативної системи:}

(1)

де T - кінетична енергія, U - потенціальна енергія системи.

Кінетична енергія повзуна, що рухається поступально з швидкістю х

(2)

Маятник здійснює складний рух: переносний зі швидкістю повзуна, та відносний – обертання навколо точки С, тому абсолютна швидкість кулі буде

(3) відповідно швидкість центра мас стержня дорівнює

(4) - у формулах (3), (4) і далі ми застосовуємо умови малості коливань, згідно з якими покладається: cos  1, sin  . Окрім цього, стержень обертається відносно центра мас, і кінетична енергія цього обертання дорівнює

де І – момент інерції стержня відносно центра мас, середини стержня.

Отже, повна кінетична енергія системи дорівнює

(5)

Потенціальна енергія системи складається з енергії стиснення пружини

(6) потенціальної енергії підняття кулі при повороті стержня на кут :

(7) та енергії підняття центра мас стержня, яку можна виразити формулою (7), у котрій замість l взяти l/2:

(8)

Остаточно, сума (6), (7) і (8) дає повну потенціальну енергію системи:

(9)

Обчислимо похідні у рівняннях Лагранжа (1)

₍₁₀₎

_{Остаточно запишемо рівняння Лагранжа (1) з урахуванням похідних (10)}

₍₁₁₎

_{де введено позначення}

(12)

Розв’язок системи (11) шукаємо у вигляді періодичних функцій з невідомою частотою 

(13) і після підставлення його у систему (11) отримуємо для сталих А1 і А2 однорідну систему алгебраїчних рівнянь

(14)

Необхідною умовою існування ненульового розв’язку однорідної системи (14) є рівність нулеві визначника системи, тобто

(15)

Рівняння (15) є біквадратним рівнянням відносно шуканої частоти :

_{(16) Два його корені можна виписати у загальному вигляді, але через громіздкість відповідних виразів далі доцільно визначити числові коефіцієнти через дані задачі}

₍₁₇₎

_{Отже, для коренів рівняння (16) виду a4 - b2 + d = 0 маємо}

₍₁₈₎

_{Таким чином, власні частоти коливань цієї системи з двома степенями вільності будуть:}

_{1 = 10,52 с-1; 2 = 3,21 с-1. (19)}

_{Для порівняння підрахуємо так звані парціальні частоти складових рухів: 1) коливань повзуна на пружині}

_{(20) 2) коливань фізичного маятника}

₍₂₁₎

_{Як бачимо, обидві частоти коливань зв’язаної системи є близькими до парціальних частот складових рухів, розглядуваних окремо.}