Определение параметров сау по распределению корней характеристического уравнения
Метод определения параметров САУ по распределению корней характеристического уравнения в основном применяется для систем с передаточной функцией вида
Корни
характеристического уравнения данной
системы, распределенные определенным
образом на левой полуплоскости корней,
полностью определяют качество переходного
процесса в системе. Так как трудно
анализировать влияние каждого корня
на качество переходного процесса и на
основе этого выбирать параметры системы
управления, вводят косвенные оценки
распределения корней характеристического
уравнения: степень устойчивости
и колебательность
(рис. 1.12).
Рис. 1.12. Определение качества переходного процесса по расположению корней характеристического уравнения
Для определения параметров САУ с использованием этого метода сначала необходимо выяснить с одной стороны связь этих оценок с распределением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней, а следовательно, и с параметрами системы, а с другой стороны – связь этих оценок с показателями качества переходного процесса.
Степень
устойчивости
САУ представляет собой модуль вещественной
части корня, наиболее близко расположенного
к мнимой оси комплексной плоскости
корней
.
Величина
характеризует длительность переходного
процесса. Корни с наименьшей по абсолютной
величине вещественной частью дают в
переходном процессе составляющие,
которые затухают медленнее других.
Оценивая приближенно длительность переходного процесса только по ближайшему к мнимой оси корню, получим:
-
в случае вещественного корня и
в случае комплексно-сопряженных корней.
Если
за время регулирования
составляющая
(в случае вещественного корня) примет
значение
,
то длительность процесса определится
из равенства
и будет равна
где
- величина, показывающая во сколько раз
уменьшается выходная величина за время
регулирования.
К аналогичному соотношению можно прийти, рассматривая для случая комплексных корней.
Колебательность
системы управления
определяется как тангенс угла,
образованного осью абсцисс и прямой,
проведенной из начала координат к точке,
соответствующей корню, при проведении
прямой через который, этим углом
охватываются все корни в одной из
четвертей левой полуплоскости корней,
то есть
(см. рис. 1.12).
Колебательность характеризует перерегулирование и скорость затухания колебаний во время переходного процесса в системе. Действительно, наличие среди корней характеристического уравнения комплексно-сопряженных корней предопределяет колебательный характер переходного процесса, причем колебательная составляющая затухает по закону (1.11).
Определим
затухание амплитуды колебаний за один
период
.
В некоторый момент времени
эта амплитуда равна
,
а через один период –
.
Затухание амплитуды колебаний за период
равно
Или
Обычно затухание выражают в процентах
Из
равенства (1.13), задавшись степенью
затухания
можно определить колебательность
В
САУ требуемое затухание колебаний за
период составляет (90...98)%. Например, если
,
то допустимаяколебательность
,
а при
,
.
Таким образом, чем меньше затухание
,
тем больше колебательность
.