Заключение

Для анализа функции необходимы знания о пределах. Последний пример – численный метод анализа функции.

Отметим:

- функция непрерывна, если выполняются три условия;

- из непрерывности функции , что соответствует ;

- приращение функции в точке ;

- точки разрыва бывают первого и второго рода;

- метод половинного деления позволяет найти корень уравнения с заданной точностью;

- , . Откуда . Напомним, что  .

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

2. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999. - 560 с.

Р 36 аздел II. Дифференциальное исчисление Лекция 6. Производная функции

Цель лекции: научиться ставить задачи, приводящие к решению производной, научиться использовать производную в прикладных задачах; изучить физический и геометрический смысл производной.

План лекции

1. Задачи, приводящие к понятию производной функции

2. Определение производной, ее физический и геометрический смысл

3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Введение

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, химии, биологии и других наук, в особенности при изучении скорости различных процессов. Например, в результате математического моделирования получена аналитическая зависимость роста объема популяции от времени. Необходимо определить скорость этого роста. Но поскольку она меняется во времени, возникает резонный вопрос: «За какой период?». А если необходимо рассчитать мгновенную скорость на данный момент? На такие вопросы и отвечает дифференциальное исчисление. Знания, полученные на этой лекции, будут необходимы при изучении тем: «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Исследование функций», «Векторный анализ» и многих других. В этом заключается особая важность лекции.

1. Задачи, приводящие к понятию производной функции

1.1. Скорость прямолинейного движения

П усть материальная точка (некоторое тело) M движется неравномерно по некоторой прямой, например, спортсмен, преодолевающий 100 м. Пусть нам известна зависимость пройденного расстояния (рис. 1) от времени t в виде , то есть, известен закон движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени точка займет положение , то есть за время расстояние точки изменится с на . Таким образом, перемещение точки M за время составит . Найдем среднюю скорость материальной точки на этом интервале

37

.

Однако это средняя скорость за период времени . Очевидно, что она не соответствует текущему значению. Чтобы точнее рассчитать скорость, необходимо уменьшать интервал времени , на котором происходит усреднение скорости. В предельном случае, когда , получим скорость движения точки в данный момент времени, или мгновенную скорость. Обозначим эту скорость V и получим

. (1)

1.2 Касательная к кривой

Возьмем на непрерывной кривой L две точки и (рис. 2).

О пределение № 1.

Прямая, проходящая через две точки непрерывной кривой, называется секущей.

Пусть точка , двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке M. Тогда секущая, поворачиваясь около точки M, стремится к некоторому предельному положению MT.

Определение № 2.

Касательной к данной кривой в данной точке M называется предельное положение секущей, проходящая через эту точку, когда вторая точка пересечения секущей и кривой L неограниченно приближается к ней.

Рассмотрим график непрерывной кривой (рис. 3), имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где – угол касательной с осью . Для этого проведем через точку и точку секущую . Обозначим – угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол будет определяться согласно

38

. (2)

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю. Поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Соответственно угол , т. е. . Следовательно,

. (3)

И так, мы пришли к необходимости нахождения предела отношения приращения функции к пределу приращения аргумента. К нахождению пределов вида (1) и (2) приводят решения и множества других прикладных задач, будь то сила тока, скорость течения химической реакции, скорость роста популяции или экономический рост. В любом случае пределы будут иметь одинаковый вид. Эти пределы записываются кратко

или .

Читается: V равно S штрих по t или тангенс равен y штрих по x.