1.5. Орташа мәндер туралы теоремаларға қатысты жаттығулар
1.
f(x)
= 4
функциясына
кесіндісінде
Лагранж формуласын қолдануға бола ма?
Шешуі.
Берілген функция
кесіндісінде үзіліссіз және әрбір x
нүктесінде туындысы бар. Яғни, Лагранж
теоремасының шарттары орындалады.
немесе f´(c)
= 0
болатындай c
нүктесін
12
теңдеуінен табамыз: c
=
.
2.
Көрсетіңіздер:
санынан артық тізбектес екі натурал
санның квадрат түбірлерінің бір-бірінен
алшақтығы
–ден
аз болады.
Дәлелдеуі.
кесіндісінде
f(x)
=
функциясына
Лагранж формуласын қолданамыз :
f(n+1)
– f(n) =
Егер
n
болса,
онда c
Олай
болса,
яғни
3. Дәлелдеңіздер: егер ақырлы немесе ақырсыз (a, b) интервалында f(x) функциясының шенелген f'(x) туындысы бар болса, онда f(x) функциясы (a, b) интервалында бірқалыпты үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі.
деп
алсақ, Лагранж формуласы бойынша
жұбы
үшін :
Егер
бойынша
санын
болатындай
етіп таңдасақ, онда
теңсіздігінен
теңсіздігі
орындылытындығы , яғни функцияның (a, b)
аралығында бірқалыпты үзіліссіздігі
шығады.
4. Берілген функция үшін Лагранж теоремасының дұрыстығын тексеріңіздер. Дұрыс болса, Лагранж формуласындағы x = c нүктесін көрсетіңіздер:
1)
y
= 2x -
,
1
x
3;
Жауабы: 2
2) y = , 0 x 1;
Жауабы: ln(e-1);
3) y = - 4x , 1 x 5;
Жауабы: 3
4)
y
=
,
x
;
Жауабы:
;
5)
y
=
, 0
x
3;
Жауабы: дұрыс емес, f’(1) жоқ
6)
y
=
,
-2
x
2;
Жауабы:
;
7) y = ln x, 1 x e;
Жауабы:е-1;
8)
y
=
,
0
x
a;
Жауабы:
;
9)
y
=
, -
x
.
Жауабы: жоқ, y’(0) жоқ;
5.
Барлық x,
y үшін
теңсіздігінің
орындалатынын дәлелдейік.
Дәлелдеуі:
Oл үшін Лагранж формуласын пайдаланамыз.
Косинус x
функциясы
сегментте
Лагранж теоремасының барлық шарттарын
қанағаттандырады, сондықтан
.
Осыдан
Онда
6.
f(x)=
функциясының
сегменттегі
c
аралық
мәнін Лагранж формуласын пайдаланып
табайық.
Шешуі: Функция x=1 нүктеде дифференциалданатынын тексерейік. Функцияның біржақты шектерінің анықтамасы бойынша :
f’(1-0)=
f’(1+0)=
Демек f(x) функция x=1 нүктеде дифференциалданады. Енді Лагранждың формуласын сегментте f(x) функцияға пайдаланайық:
f(2)-f(0)=2.
f’(c), c
Сонда,
f(2)=
ал
f(0)=
болғандықтан
және
f’(x)=
онда
-1=
Осыдан
болады.
7. Көрсетілген кесіндіде анықталған функция үшін Лагранж теоремасының дұрыстығын тексеріп, f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) формуладағы нүктелерін анықтаңыз.
f(x)=2x-
Шешуі.
Берілген функция
кесіндіде
үзіліссіз, (1;3) аралықта f’(x)=2-2x
ақырлы туындысы бар, яғни дифференциалданады.
Демек, Лагранж теоремасын қолдануға
болады. f(1)=1,
f(3)=-3, b-a=3-1=2 және
f’(c)=2-2c
екендігін ескерсек, f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)
формула бойынша -3-1=f’(c)
немесе -4=(2-2c)
2
болады. Бұдан c=2.
8.
f(x)=arctg
және
f(1)=0
функцияның шектеулі
шегі
бар болатынын, ал бірақ функцияның
шектеулі
f’(1-0), f’(1+0) біржақты шектері жоқ болатынын дәлелдейік.
Дәлелдеуі:
Ол үшін Лагранж формуласын кез келген
сегментте
жазайық:
Осы
теңдіктен
–да
шекке көшейік:
ал анықтама бойынша
Енді
x
болсын,
онда
f’(x)=
ал функцияның біржақты шектерінің анықтамасы бойынша x=1 нүктеде :
f‘(1+0)=
f’(1-0)=
.
9. Көрсетілген кесінділерде анықталған функциялар үшін Лагранж теоремасының дұрыстығын тексеріп, f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) формуладағы нүктелерін анықтаңыз.
1)
f(x)
=
Жауабы: c = ln(e-1)
2)
f(x)
=
.
Жауабы:
c
=
3)
f(x)
=
Жауабы: c = 3
4)
f(x)
= lnx;
Жауабы: c = e-1
5)
f(x)
=
Жауабы: дұрыс емес, f’(1) болмайды
6)
f(x)
=
Жауабы: c =
10.
f(x)
= 3
функциясы
кесіндісінде
Ферма теоремасы шарттарын қанағаттандыра
ма?
Жауабы: жоқ
11. Берілген функция үшін көрсетілген аралықта Ферма теоремасы шарттары орындалатынын тексеріңіздер және f΄(c) = 0 болатын x = c мәнін табыңыздар:
a)
f(x)
= 3
ә)
f(x)
= xlnx, 0
б)
f(x)
= -7
в)
f(x)
= -
12. Берілген функциялар үшін көрсетілген жиындарда Ферма теоремасының шарттары орындалатынын тексеріңіз және f’(c)=0 болатын x=c нүктелерін табыңыз:
1)
f(x)
= -7
Жауабы: жоқ.
2) f(x) = xlnx; (0;1).
Жауабы:
иә;
c
=
13. Берілген функция үшін көрсетілген жиында Ферма теоремасының шарттары орындалатынын тексеріңіз және f’(c)=0 болатын x=c нүктелерін табыңыз:
1)
f(x)
= -
Жауабы:
иә;
14. f(x) функциясы үшін көрсетілген аралықта Ролль теоремасының шарттары орындала ма, орындалса, f΄(c) = 0 болатын c мәні қандай?
1)
f(x)
=
Жауабы: иә, с = 1,5;
2)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = 2.5;
3)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = 0.5;
4)
f(x)
= 4-
Жауабы: с = -3.5;
5)
f(x)
=
Жауабы:жоқ, у´(0) - шенелмеген;
6)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = 1.5;
7)
f(x)
=
Жауабы:жоқ, f’(2) жоқ;
8)
f(x)
=
Жауабы:иә,
с
=
;
9)
f(x) = ln sinx,
Жауабы:иә, с = ;
10)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = ;
11)
f(x)
=
1
Жауабы:иә, с = 1.5;
12)
f(x)
= 1-
Жауабы:иә,
у´
;
13)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = 4;
14)
f(x) = tg x, 0
Жауабы:
жоқ, x
=
;
15.
f(x)
=
берілген.
f
(0) = f (16).
Бірақ f΄(x)
=
туындысы
(0, 16) интервалының ешқандай нүктесінде
0–ге тең емес. Бұл Ролль теоремасына
қайшы ма?
Жауабы:жоқ, өйткені теореманың шарты орындалмай тұр: f'(8) жоқ.
16. f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) функцияға Ролль теоремасы орындала ма?
Шешуі:
берілген f(x)
функциясы
сегментте
дифференциалданады және сегменттің
x=1,
x=2,
x=3
нүктелерінде
нөлге айналады. Олай болса, f(x)
функцияға
және
сегменттерде
Ролль теоремасының барлық шарттары
орындалады. f(x)
функция
үшінші дәрежелі көпмүшелік болғандықтан,
(1;3)
интервалдан f’(x)=0
теңдікті
қанағаттандыратын екі нүкте табылады.
Функцияны дифференциалдап және оны
нөлге теңестіріп, квадрат теңдеу
аламыз:3
Сонымен жоғарыда айтылған екі нүктені
табамыз:
17.
f(x)=1-
функция
x=-1,
x=1
нүктелерде
нөлге айналады, бірақта f’(x)
барлық
x
Ролль
теоремасын қараңыз).
Ролль теоремасына келетін қайшылықты
түсіндір.
Шешуі:
Ролль теоремасының 2)-шарты орындалмайды:
f(x)
функцияның
x=0
нүктеде
туындысы жоқ. Шынында да
f’(-0)=
f’(+0)=
18.
f(x)=
функция
үшін берілген жиында
Ролль
теоремасының шарттары орындалатынын
тексеріңіз және орындалған жағдайда
f’(c)=0
болатын
x=c
нүктелерін
табыңыз.
Шешуі: f(x) функциясы берілген жиында үзіліссіз, (1;2) аралықта ақырлы туындыға ие және f(1)=f(2)=0. Сондықтан бұл функцияға Ролль теоремасын қолдануға болады. f’(x)=-2x+3=0 шарттан c=1.5 екендігі шығады.
19. f(x) және g(x) функциялары үшін берілген кесіндіде Коши теоремасының дұрыстығын тексеріп, Коши формуласындағы x=c нүктесін (бар болса ) табыңыз:
1)
f(x)=-
.
Жауабы:
c=
2)
f(x)=
Жауабы:c=
3)f(x)=sinx,
g(x)=cosx;
.
Жауабы:c=
20. Берілген функциялар үшін Коши теоремасының дұрыстығын тексеріңіздер және x = c нүктесін табыңыздар:
1)
f(x)
=
Жауабы: с = 2;
2)
f(x)
= -
Жауабы: с = ;
3)
f(x)
= 2
Жауабы:
с
=(
4)
f(x)
= cosx,
Жауабы:
с
=
;
5)
f(x)
=
Жауабы: жоқ, g(-3)=g(3);
6)
f(x)
=
Жауабы: с = ;
21.
f(x)
және
g(x)
функциялары үшін берілген кесіндіде
Коши теоремасының дұрыстығын тексеріп,
Коши формуласындағы x=c
нүктесін
(бар болса ) табыңыз:
f(x)=
.
Шешуі.
Берілген функциялар
кесіндісінде
үзіліссіз, (0;3) аралығында дифференциалданады.
f’(x)=3
әрі
(0;3) аралығында 2x
Демек, Коши теоремасының барлық шарттары
орындалады. f(0)=1,
f(3)=28, g(0)=5, g(3)=14 және
g’(c)=2,
f’(c)=3
екендігін
ескеріп, Коши формуласына қойсақ:
немесе
3=
болады.
Бұдан c=2.
ҚОРЫТЫНДЫ
“ Қазір бой жарыстыратын заман емес , ой жарыстыратын заман ” деп Елбасымыз айтқандай , ой жарыстыратын заманның іргетасы математикамен қаланса керек. Бұл курстық жұмыспен жүйелі түрде жұмыс жасау арқылы математика тұрғысынан білгенімді, іздеп тапқанымнан іріктегенімді ойыммен өткізіп, сараптап ұсыну арқылы біраз білімімді бекіттім.
Орташа мәндер туралы теоремаларды талдай отырып қол жеткізген негізгі нәтижем, ол тақырып бойынша теориялық білімімнің ауқымдылығы арта түсті. Дәлірек айтқанда, ең алдымен теоремалар туралы теориялық тұжырымдамаларды зерттеуімде кеңінен келтіру арқылы және оларды дәлелдеу арқылы аларым мол болды. Теоремалардың ескертулерін де ескере отырып, геометриялық мағынасының маңыздылығын меңгердім. Тек теориялық тұрғыдан ғана емес, курстық жұмысымды зерттеу барысында бірнеше бағыттағы есептерді тақырып аясында топтастыру арқылы, теориялық білімді практикамен ұштастыра білудің маңыздылығының жоғары екенін ұғындым. Теоремалардың өзіндік өзгешеліктерін ескеру арқылы әр тапсырмаға мұқият назар аудара отырып қажетті теореманы қолдана білуге бағыттау мақсатынды бірнеше есептерді келтіруге тырыстым. Теоремалардың негізгі түп тамыры туындыдан бастау алады, ал бұл өз кезегінде біз секілді болашақ педагогтердің туынды туралы түсініктерін түйіндеп, берері мол.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:
Айдос Е.Ж. Жоғары математика 2. Алматы, 2008 -466 бет
Байарыстанов А.О. Жоғары математика теориясы және жаттығулар жинағы. Алматы, 2010 -364 бет
Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы. Алматы, 2014 -832 бет
Ибрашев Х.И, Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы 1-том, Алматы 2014 -562 бет
Қабдықайыр Қ. Жоғары математика. Алматы, 2005 -524 бет
Қабдықайыр Қ, Есельбаева Р. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер. Алматы, 1985 -229 бет
Қасымов Қ, Қасымов Е. Жоғары математика курсы (математикалық анализ). Алматы, 2006 -392 бет
Махмеджанов Н.М. Жоғары математика есептерінің жинағы. Алматы, 2008 -392 бет
Отаров Х.Т. Математикалық анализ. Алматы, 2012 -536 бет
Фихтенгольц Г.М. Математикалық анализ негіздері 1-том. Москва, 2004
Хасеинов К.А. Математика канондары. Жоғары математика курсы. Алматы, 2011 -692 бет