Лабораторные работы / Ганишев (8 вариант) / Лабораторная работа 5

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Лабораторная работа №5

«Критерий хи-квадрат проверки гипотез»

по дисциплине «Теория вероятности

и математическая статистика».

Выполнил: .

Студент группы А-13-08

Ганишев Василий

Проверил: .

Тигетов Д.Г.

Задание 1.

Проверим гипотезу о нормальном законе распределения размеров головок заклёпок, сделанных на одном станке, по выборке объема n = 200; измерения приведены в таблице 1. Оценками для среднего и стандартного отклонения являются

Таблица частот:

График наблюдаемых и ожидаемых частот:

P {χ²₃ ≥ 12.00} = p = 0.007

Гипотезу о нормальности отбрасываем.

Гистограмма наблюдений:

Продублируем столбец, исключая аномальное значение:

Таблица частот:

График наблюдаемых и ожидаемых частот:

P {χ²₃ ≥ 10.737} = p = 0.825

Наблюдения не противоречат гипотезе о нормальности.

Пример 2.

Проверим генератор случайных чисел. Сгенерируем выборку объемом 160 из распределения N(15,9), и по полученным результатам проверим гипотезу о согласии данных с этим распределением.

Выборка:

Таблица частот:

График:

Пример 3.

В опытах по генетике Мендель наблюдал частоты появления различных видов семян, получаемых при скрещивании гороха с круглыми желтыми и морщинистыми зелёными семенами.

Формула даёт χ²₃ = 0.47 При числе степеней свободы m – 1 = 3

P {χ²₃ ≥ 0.47} = p = 0.92

Так что между теорией и наблюдениями имеется очень хорошее согласие: критерий с любым уровнем значимости α ≤ 0.92 не отвергал бы эту гипотезу.

Воспользуемся предложенной процедурой:

Между теорией и наблюдениями имеется очень хорошее согласие, так как полученная вероятность очень велика.

Пример 4.

Данные, собранные по ряду школ, относительно физических недостатков школьников (P₁, P₂, P₃ – признак A) и дефектов речи (S₁, S₂, S₃ – признак B) приведены в таблице. В следующей таблице даны частоты их комбинаций.

Для проверки гипотезы о независимости этих двух признаков вычислим статистику: = 34,88; число степеней свободы f = (3-1)*(3-1) = 4; минимальный уровень значимости

P {χ²₄ ≥ 34.88} ≤ 0.001

Это значит, что при независимых признаках вероятность получить значение такое же, как в опыте или большее, меньше 0.001, и поэтому гипотезу о независимости стоит отклонить.

Воспользуемся выданным файлом.

Поскольку p мало. То гипотеза о независимости физических и речевых дефектов отклоняется.

Пример 5.

Имеются данные о наличии примесей серы в углеводородистой стали, выплавляемой двумя заводами. Проверим гипотезу о том, что распределения содержания серы (нежелательный фактор) одинаковы на этих заводах. Находим χ² = 3.39. Число степеней свободы , квантиль уровня 0.95 – 7.8.

Полученное нами значение 3.39 лежит в области допустимых значений, и поэтому у нас нет основания считать, что содержание серы в стали заводов имеет различное распределение.

Так как вероятность не мала, то гипотезу об одинаковом распределении можно принять.

Самостоятельная работа.

1.

Проверить гипотезу о типе распределения на основе сгенерированной выборки объемом 100 по закону R[5,15].

Сгенерируем выборку:

Гипотеза о нормальности.

Вероятность не мала, но и не велика => не противоречит гипотезе.

Гипотеза о показательности.

Вероятность крайне мала => гипотеза отбрасывается.

Гипотеза о равномерности.

Вероятность мала => гипотеза также отклоняется.

2.

Проверить гипотезу об однородности 3х выборок.

Сгенерировать 3 выборки объемами 180, 100 и 120 для E(a)(30,30,30/24,30,36). Произвести их группирование на 8-10 интервалах.

Сформируем новую таблицу:

Вероятность достаточно велика для того, чтобы принять гипотезу.

Сформируем новую таблицу:

Данные не позволяют принять или отвергнуть гипотезу